Применение математических моделей к описанию и изучению основных процессов

Метод – совокупность приемов практического или теоретического освоения действительности.

Применительно к курсу ПиАХТ таким методом является моделирование -физическое и математическое. Под моделированием понимают метод исследования объектов (в данном случае процессов, протекающих в каком-то аппарате - натуре) на их моделях.

При физическом моделировании (масштабировании) экспериментально исследуемый объект (модель) отличается от натуры масштабом, физическая же природа явления (процесса) остается той же. Т.е. любой процесс обкатать сначала в «пробирке», а потом внедрять в укрупненном виде.

При математическом моделировании исследуют процесс (влияние на него различных параметров-давления, температуры, скорости потока и т.п.) путем решения систем уравнений, описывающих этот процесс, дополненных граничными условиями (т. е., в отличие от физического моделирования, при математическом моделировании исследования проводят на теоретической или идеальной модели). Поскольку такие расчеты связаны с большим объемом трудоемких вычислений, математическое моделирование обычно выполняют с помощью ЭВМ.

Подробнее остановимся на мат. моделировании.

Математическое моделирование – это по существу определение свойств и характеристик рассматриваемого явления (процесса) путем решения (как правило, с помощью ЭВМ) системы уравнений, описывающих этот процесс - математической модели.

При этом очень важно составить модель так, чтобы она достаточно точно отражала основные свойства рассматриваемого процесса и в то же время была доступной для исследования. Однако: опыт, будучи основой всякого исследования, поставляет в то же время исходные данные и для математического моделирования, т.е. математическое моделирование по существу является одним из методов физического моделирования и составляет с ним единую систему исследования объектов познания.

Математическое моделирование особенно важно там, где не совсем ясна физическая картина изучаемого явления, не познан внутренний механизм взаимодействия и, следовательно, нет возможности описать данное явление обобщенным уравнением. В процессе численного эксперимента происходит по существу уточнение исходной физической предпосылки (модели). Путем расчетов на ЭВМ различных вариантов ведется накопление фактов, что дает возможность в конечном счете произвести отбор наиболее реальных и вероятных ситуаций. Математическое моделирование позволяет резко сократить сроки научных и проектных разработок. По сравнению с натурным экспериментом это обычно и дешевле, и быстрее.

Общая схема процесса математического моделирования (численного эксперимента) включает 8 последовательных этапов:

1. Постановка задачи

Постановка задачи определяет не только цель, но и пути решения данной задачи. Это один из важнейших этапов моделирования, поскольку не существует общих правил, которые можно было бы использовать во всех случаях. Перед разработкой пути решения задачи необходимо достаточно полно уяснить природу данной конкретной задачи. Чем глубже будет ясна физическая сущность явления, тем правильнее будет составлена физическая модель изучаемого процесса.

2. Анализ теоретических основ процесса (составление физической модели процесса)

На этой стадии необходимо выявить, какие фундаментальные законы лежат в основе данного процесса. Обычно теоретические основы процессов изучают по различным источникам-как опубликованным, так и неопубликованным. Если не удается подобрать удовлетворительную теорию, можно прибегнуть к разработке гипотез (постулатов). Справедливость их должна быть проверена путем сравнения результатов решения математической модели, построенной на основе принятых постулатов, с экспериментальными данными.

3. Составление математической модели процесса

На основе выбранной физической модели применительно к решаемой задаче составляют систему соответствующих математических уравнений -математическую модель процесса. Построение математической модели заключается в создании формализованного описания объекта исследования на языке математики в виде некоторой системы уравнений и функциональных соотношений между отдельными параметрами модели. Математическая модель может содержать как дифференциальные, так и конечные уравнения, не содержащие операторов дифференцирования.

Различают два основных вида математических моделей: детерминированные (аналитические), построенные на основе физико-химической сущности, т. е. механизма изучаемых процессов, и статистические (эмпирические), полученные в виде уравнений регрессии на основе обработки экспериментальных данных. Очевидно, что физико-химические детерминированные модели более универсальны и обычно имеют более широкий интервал адекватности.

Физико-химическая детерминированная модель состоит из трех групп уравнений:

1) уравнений балансов массы и энергии; эта группа уравнений позволяет определить потоки массы и теплоты, изменение физико-химических свойств системы (вязкости, теплоемкости и т.п.) в связи с изменением температуры и состава;

2) уравнений состояния (фазовые равновесия и т. п.);

3) кинетических уравнений; к этой группе относятся описания кинетики тепло- и массопереноса, химической кинетики и т.д.

На данном этапе следует рассмотреть возможность упрощения уравнений путем пренебрежения некоторыми членами уравнений, мало отклоняющимися в ходе решения задачи. Иногда можно по этой причине исключать из рассмотрения целые уравнения. Например, при составлении теплового баланса выяснилось, что в заданном интервале температур и изменения концентраций удельная теплоемкость многокомпонентной смеси изменяется всего лишь на 1-2% от номинального значения, чем можно во многих случаях пренебречь. Таким образом, прежде чем включить уравнение в математическую модель процесса, следует оценить влияние входящих в него переменных на конечные результаты решения задачи и по возможности заменить слабо влияющие переменные постоянными средними величинами.

4. Алгоритмизация математической модели

Следующим этапом моделирования является алгоритмизация разработанной математической модели и выбор метода ее решения. В случае достаточно простых процессов описывающая их система уравнений может быть решена аналитически. Когда же математическая модель представляет собой сложную систему дифференциальных уравнений, выбор эффективного алгоритма решения приобретает большое значение. При выборе метода решения необходимо учитывать многие факторы: тип уравнений, входящих в систему математического описания модели (обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и т. п.), размерность задачи и т.п. Таким образом, на данном этапе следует выбрать общий подход к решению задачи и определить совокупность критериев, которым должна удовлетворять полученная система уравнений модели. Кроме того, здесь же необходимо провести анализ задачи (математический и физический), который должен подтвердить существование и единственность решения.

После того как составлено полное математическое описание модели, выбирают метод решения, который представляется наиболее приемлемым, разрабатывают его во всех деталях и записывают в виде алгоритма. Затем алгоритм нужно изложить на одном из языков программирования (фортран, бейсик, паскаль и др.), т. е. составить программу для ЭВМ.

5. Параметрическая идентификация модели

Под параметрами математической модели понимают коэффициенты, которые учитывают те или иные особенности объекта-натуры и характеризуют свойства данной натуры, отличающие ее от других натур подобного класса. Поэтому чем больше параметров входит в модель, тем подробнее и точнее удается описать и охарактеризовать данную натуру. Однако многопараметрические математические модели имеют и существенные недостатки: это прежде всего трудность обработки таких моделей и высокая чувствительность к экспериментальным ошибкам. Может возникнуть такая ситуация, когда вследствие недостаточно высокой точности эксперимента физический смысл модели может быть потерян, хотя модель в целом будет давать достаточно точное совпадение с экспериментальными данными. Это происходит потому, что ошибки в величинах разных параметров взаимно компенсируются. При этом количественное описание натуры в определенных интервалах переменных остается пригодным, но физический смысл модели искажается и параметры модели получают смысл подгоночных параметров, назначение которых сводится к приведению в соответствие экспериментальных данных и модели. Часто некоторые параметры модели неизвестны, и оценить их значение можно только с помощью дополнительных экспериментов, т. е. в этом случае необходимо провести параметрическую идентификацию модели.

6. Проверка адекватности математической модели

Объективным критерием качества моделей является их адекватность или степень приближения данных, прогнозируемых по модели, к экспериментальным данным. Для проверки адекватности математической модели реальному процессу необходимо сравнить наблюдаемые в ходе эксперимента величины с прогнозами по модели при определенных параметрах процесса. Обычно это сравнение осуществляется путем проверки некоторой статистической гипотезы.

7. Моделирование процесса

Этот этап заключается в решении на ЭВМ математической модели процесса при варьировании параметров процесса в интересующем для данного исследования диапазоне.

8. Анализ полученной информации

Это заключительный этап решения задачи. Он сводится к изучению и проверке результатов, полученных при решении математической модели. При этом любому не предполагаемому заранее решению необходимо дать рациональное объяснение, чтобы гарантировать себя от ошибок, которые могут возникнуть в результате вычислений.

В каждом реальном процессе параметры в силу различных причин не остаются постоянными, причем они могут меняться в довольно широком диапазоне. Поэтому необходимо проводить анализ функционирования смоделированного процесса при изменении различных параметров.

Такой анализ, как правило, преследует три основные цели:

1) исследовать поведение модели при варьировании изменяющихся параметров;

2) определить, является ли данная модель работоспособной при варьировании изменяющихся параметров и, соответственно, определить пределы работоспособности модели;

3) скорректировать модель с целью расширения диапазона ее работоспособности и улучшения ее эксплуатационных характеристик.

На основании проведенного анализа принимают решение – выдать рекомендации для практической реализации или продолжить исследование.