Многие экономические взаимосвязи допускают моделирование одним уравнением. При этом предполагается, что между независимыми переменными x1…xm и зависимой переменной у существует только прямая связь: xi->y, i=1…m. В такой ситуации зависимая переменная у не оказывает никакого влияния на переменные, входящие в правую часть модели, которые в свою очередь можно изменять независимо друг от друга. В большинстве случаев для оценки таких моделей используется метод 1МНК.
Однако, описание сложного экономического процесса предполагает использование системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений – simultaneous equations, структурная форма которой представлена формулой (1).
| |||
Û BY + AX = E,
где а и b – структурные параметры модели;
yi – эндогенная (зависимая) переменная, определяемая внутри модели (i=1…n);
xi – предопределённая переменная: экзогенная (независимая) переменная, определяемая вне системы, или лаговая (запаздывающая) эндогенная.
В данной системе эндогенные переменные взаимосвязаны, одни и те же эндогенные переменные в одних уравнениях входят в левую часть системы, а в других – в правую, поэтому каждое уравнение не может рассматриваться самостоятельно и для нахождения его параметров традиционный 1МНК неприменим.
Для оценивания параметров структурной модели (1) используются следующие методы:
• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);
• двухшаговый метод наименьших квадратов (2МНК – Two-Stage Least Squares, tsls);
• трехшаговый метод наименьших квадратов (3МНК – Three-Stage Least Squares, 3sls);
• метод максимального правдоподобия с полной информацией (ММП);
• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММП).
С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:
1. Точно идентифицируемые (все структурные параметры определяются однозначно, единственным образом; для решения системы используется КМНК, 2МНК или 3МНК), D+1=H;
2. Неидентифицируемые (нерешаемы, т.к. один или более параметров не могут быть определены), D+1<H;
3. Сверхидентифицируемые (все структурные параметры определяются, но некоторые из них могут принимать одновременно несколько значений; для решения системы используется 2МНК или 3МНК), D+1>H.
Н – число эндогенных переменных в уравнении, D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.
Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы является приведенной формой модели (2).
............ Û (2)
,
где pij - коэффициенты приведенной формы модели.
Двухшаговый метод наименьших квадратов (2МНК) является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений, поэтому в ряде компьютерных программ для её решения рассматривается лишь двухшаговый метод наименьших квадратов; пакет Gretl 1.7.1 содержит 2МНК и 3МНК методы.
Основная идея 2МНК заключается в том, что на основе приведенной формы модели (2) получают методом 1МНК для каждого i-го (сверхидентифицируемого или идентифицируемого) уравнения системы (1) теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения , формула (3).
, (3)
где - матрица значений всех предопределённых переменных системы;
- матрица оценок эндогенных переменных в правой части і-го уравнения;
– подматрица матрицы оценок параметров приведенной формы (2), соответствующих эндогенным переменным, включённым в правую часть i-го структурного уравнения ( получено применением 1МНК к системе (2));
Затем, подставив вместо фактических значений в правой части уравнения, можно применить 1МНК к каждому уравнению структурной формы (1). Т.е. строятся 1МНК оценки структурных параметров в регрессии (4).
(4) Формула (4) отражает каждое уравнение системы (1) после того как фактические значения эндогенных переменных в правой части были заменены на их теоретические значения (оценки) .