Тема 8. Идентификация систем одновременных уравнений

Наиболее распространенные методы оценки параметров системы одновременных уравнений:

∙ косвенный метод наименьших квадратов;

∙ двухшаговый метод наименьших квадратов;

∙ трехшаговый метод наименьших квадратов;

∙ метод максимального правдоподобия с полной информацией;

∙ метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Для оценки параметров идентифицируемой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), а для оценки коэффициентов сверидентифицируемой системы применяется двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Процедура применения КМНК состоит из следующих этапов:

1. структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

2. для каждого уравнения приведенной формы модели оцениваются приведенные коэффициенты () обычным МНК;

3. коэффициенты приведенной формы модели преобразовываются в параметры структурной формы.

Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

1. составляется приведенная форма модели, и определяются численные значения параметров каждого уравнения обычным МНК;

2. выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

3. обычным МНК определяются параметры структурного управления, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Таким образом, метод наименьших квадратов применяется дважды: при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических значений эндогенных переменных.

ДМНК является более общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК, поэтому в ряде компьютерных программ реализован только ДМНК.

Трехшаговый метод наименьших квадратов заключается в том, что на первом шаге к исходной модели применяется обобщенный метод наименьших квадратов с целью устранения корреляции случайных членов. Затем к полученным уравнениям применяется двухшаговый метод наименьших квадратов. Если случайные члены в модели не коррелируют, то трехшаговый метод наименьших квадратов сводится к двухшаговому.

Пример 7. Рассмотрим систему линейных одновременных уравнений, структурная форма которой приведена в примере 6:

Задание:

1. Определить метод оценки параметров модели.

2. Изложить методику оценки структурных параметров модели.

Решение:

Проверка модели на идентифицируемость показала, что первое уравнение является сверхидентифицируемым, а второе – точно идентифицируемым (см. пример 6). Следовательно, для оценки параметров первого уравнения следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов, а для оценки параметров второго уравнения – косвенный метод наименьших квадратов.

Методика оценки параметров первого уравнения.

1. В соответствии со схемой ДМНК на первом этапе запишем приведенную форму модели:

Параметры каждого уравнения приведенной формы определяются обычным методом наименьших квадратов.

2. На втором этапе выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

В нашем примере переменная S_t, расчетные значения которой можно определить из второго уравнения приведенной формы модели.

3. В первое структурное уравнение, которое является сверхидентифицируемым, вместо фактических значений переменной S_t подставляем расчетные значения , найденные на втором шаге. Таким образом, получаем уравнение:

Параметры этого уравнения уже можно оценивать обычным методом наименьших квадратов.

Методика оценки параметров второго уравнения.

Параметры приведенной формы модели уже были определены на первом этапе.

Сравнивая второе уравнение структурной формы модели и второе уравнение приведенной формы, видно, что для получения соответствия между ними необходимо из второго уравнения приведенной формы исключить переменную Р_t и ввести переменную R_t.

Для этого из третьего уравнения приведенной формы модели выражаем переменную Р_t: