Вероятность отказаQ (t) – это вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени произойдет хотя бы один отказ

Вероятность отказа при работе по статистическим данным об отказах оценивается выражением:

Вероятность отказа Q (t) является возрастающей функцией времени (см. рисунок 2.1). Функция Q (t) характеризует вероятность того, что в заданном интервале времени произойдет хотя бы один отказ: Q (t) = Q (tр < t) — вероятность того, что время безотказной работы меньше t.

Поскольку работоспособность и отказ являются состояниями несовместимыми и противоположными, то их вероятности связаны зависимостью:

P (t) + Q (t) = 1. (2.3)

Частота отказовa (t) — плотность распределения времени безотказной работы или производная от вероятности безотказной работы:

a (t) = q'(t) = — p'(t) (2.4)

Для определения величины a (t) используется следующая статистическая оценка:

, (2.5)

где n (∆t) – количество отказавших изделий в интервале времени ∆t;

N0 – количество изделий в начале испытаний.

Одновременно этот количественный показатель надёжности «а(t)» является дифференциальной функцией распределения вероятностей отказа (плотностью вероятности отказа). Численно равен среднему числу отказов в единицу времени на один объект из начального количества объектов N0 (t=0) или доле начального количества объектов N0 (t=0), отказавших после произвольного, но фиксированного момента времени t, в течение выбранного промежутка времени ∆t:

. (2.6)

Частота отказов «а» или «f» позволяет судить о количестве элементов, выходящих из строя в промежутке времени для невосстанавливаемой системы и довольно просто вычислить количество отказавших систем в интервале ”∆t”,но по её величине нельзя судить о надёжности.

Понятие интенсивность отказов устройства в единицу времени используется как количественная характеристика для математического определения надёжности. Эта величина измеряется в среднем обычно числом отказов за один час. Обратная величина «λ» — наработка до первого отказа в часах — отношение общего времени испытания к общему числу отказов.

Интенсивность отказовλ(t) – это условная плотность распределения времени безотказной работыдля момента времени t при условии, что до этого момент отказа не произошел (интенсивность появления отказов в единицу времени):

, (2.7)

причем P (t) ≤ 1, то λ(t) ≥а(t).

Для высоконадёжных систем если P (t) = 0.99,то а(t) ≈ λ(t). Ошибка не более 1% и не превышает ошибок статистического определения а(t) и λ(t).

Следует подчёркнуть разницу между величинами а(t) и λ(t). Вероятность а(t) dt характеризует вероятность отказа объекта за интервал времени (t, t+∆t), взятого произвольным образом из группы подобных объектов, причём неизвестно в каком состоянии (работоспособным или неработоспособным) находится объект. Вероятность λ(t) dt характеризует вероятность отказа объекта за интервал (t, t+∆t), взятого из группы подобных объектов, которые остались работоспособными к моменту времени t.

Интегрируя это выражение, получаем выражение, связывающее вероятность безотказной работы и интенсивность отказов:

. (2.8)

Обычно интенсивность отказов изменяется во времени. Лишь в случае экспоненциального закона распределения отказов интенсивность отказов λ(t) = λ = =const.

Со статистической точки зрения интенсивность отказов λ(t) – это отношение количества отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени:

, (2.9)

где n (∆t) – количество отказавших изделий в интервале времени ∆t;

– среднее число изделий, исправно работающих в интервале ∆t;

Ni; Ni+1 – соответственно количество изделий, исправно работающих в начале и конце интервала ∆t.

Достоинства данного показателя:

— λ(t) — функция времени и позволяет наглядно установить характерные участки работы системы. Это даёт возможность наметить пути по повышению надёжности;

— по нему довольно просто найти другие характеристики надёжности.