Знаки тригонометрических функций

5 ноября 2011

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.

Определение

Синус угла α — это ордината (координата y) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

Определение

Косинус угла α — это абсцисса (координата x) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

Определение

Тангенс угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x.

Обозначение

sin α = y; cos α = x; tg α = y: x.

Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:

1. sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходитиз-за того, что по определению синус — это абсцисса (координата y). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;

2. cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только тамкоордината x (она же — абсцисса) будет больше нуля;

3. tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y: x, поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти (x < 0, y < 0).