Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу . По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:
А части поменяем местами:
В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.
Скалярное произведение – это число? Число. Длины векторов – числа? Числа. Значит, дробь тоже является некоторым числом . А если известен косинус угла: , то с помощью обратной функции легко найти и сам угол: .
Пример 7
Найти угол между векторами и , если известно, что .
Решение: Используем формулу:
На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .
Итак, если , то:
Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице. Хотя случается это редко. В задачах аналитической геометрии значительно чаще появляется какой-нибудь неповоротливый медведь вроде , и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор. Собственно, такую картину мы ещё неоднократно увидим.
Ответ:
Опять, не забываем указывать размерность – радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или только в градусах).
Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием:
Пример 7
Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .
Задание даже не столько сложное, сколько многоходовое.
Разберём алгоритм решения:
1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу .
2) Находим скалярное произведение (см. Примеры №№3,4).
3) Находим длину вектора и длину вектора (см. Примеры №№5,6).
4) Концовка решения совпадает с Примером №7 – нам известно число , а значит, легко найти и сам угол:
Краткое решение и ответ в конце урока.
Второй раздел урока посвящен тому же скалярному произведению. Координаты. Будет даже проще, чем в первой части.
Скалярное произведение векторов,
заданных координатами в ортонормированном базисе
На уроке мы рассматривали два случая: векторы на плоскости и векторы в трехмерном пространстве, при этом «плоские» и «пространственные» формулы были весьма похожи. Для скалярного произведения векторов всё точно так же! Прежде чем продолжать дальше, скажу, что все рассмотренные выше утверждения, теоремы и задачи (первого раздела данной статьи) справедливы как для плоскости, так и для пространства.
Второе важное замечание касается базиса. В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства.
Повествование опять пойдёт параллельно – и для векторов плоскости и для пространственных векторов.