2015-08-13
995
Пример 13
Найти скалярное произведение векторов 
, если 
Решение: Напрашивается трафаретное решение предыдущего раздела, где мы составляли произведение и раскрывали скобки: 
. Но сейчас нам неизвестны длины векторов 
и угол между ними. Зато известны координаты. Решение на самом деле будет очень простым:
Найдём вектор 
:
Найдём вектор 
:
Проделаны элементарные действия с векторами, которые рассмотрены в конце урока Векторы для чайников.
Вычислим скалярное произведение:
Ответ: 
Что и говорить, иметь дело с координатами значительно приятнее.
Пример 14
Найти скалярное произведение векторов 
и 
, если 
Это пример для самостоятельного решения. Здесь можно использовать ассоциативность операции, то есть не считать 
, а сразу вынести тройку за пределы скалярного произведения и домножить на неё в последнюю очередь. Решение и ответ в конце урока.
В заключение параграфа провокационный пример на вычисление длины вектора:
Пример 15
Найти длины векторов 
, если 
Решение: Снова напрашивается путь из предыдущего раздела: 
, и опять мы не знаем длин векторов и угла между ними. Решение элементарно:
Найдём вектор :
И его длину по тривиальной формуле 
:
Скалярное произведение здесь вообще не при делах!
Как не при делах оно и при вычислении длины вектора 
:
Стоп. А не воспользоваться ли очевидным свойством длины вектора? Что можно сказать о длине вектора 
? Данный вектор длиннее вектора 
в 5 раз. Направление противоположно, но это не играет роли, ведь разговор о длине. Очевидно, что длина вектора 
равна произведению модуля числа 
на длину вектора 
:
– знак модуля «съедает» возможный минус числа .
Таким образом:
Ответ: 
