Terminate 1

START 1000 Закончить моделирование через 1000 циклов

Так как моделируется СМО вида М/М/1, то согласно формуле (1.7) при С=1 теоретическое среднее время пребывания в СМО Т= 1800, а результаты моделирования дают Т= 1833,053+440,258 для 90% доверительной вероятности (MEIN ± DELTA). Теоретиче­ский коэффициент загрузки равен 0,9, а по результатам моделирова­ния 0,901. Как видно, полученные результаты близкие к теоретиче­ским.

Приведенная программа может быть использована для любой i регенерирующей модели. Для этого между метками INP и OUT нуж­но вставить программу регенерирующей модели. Проверка циклов i регенерации осуществляется по количеству транзактов, которые на­ходятся между этими метками. Цикл регенерации начинается, если в Модели между указанными метками нет ни одного транзакта.

При моделировании систем управления запасами цикл начина­ется, когда достигается минимальная величина запаса, поэтому для таких моделей необходимо изменить условие проверки начала цикла регенерации.

9.5. Факторный план

При экспериментировании с моделью различают входные и вы­ходные переменные. Входные переменные называются факторами. Выходные переменные называются откликами. Каждый фактор в эксперименте может принимать одно или несколько значений, назы­ваемыми уровнями фактора. Множество уровней факторов опреде­ляет одно из возможных состояний моделируемой системы и пред­ставляет условия проведения одного из возможных экспериментов. Существует определенная связь между уровнями факторов и откли­ками системы, которая обычно заранее неизвестны. Эту связь можно определить следующим образом:

где у₁, - l-й отклик, п - число анализируемых откликов, х_i - i -йфактор, т- число факторов.

Функция ψ в правой части называется функцией отклика или реакции. Ее геометрический образ - поверхность отклика. Так как функция ψ заранее не известна, то используют другую приближен­ную функцию:

Эти функции φ _l находят по данным эксперимента и представ­ляют в виде степенного полинома первого, второго и, реже, третьего порядка. После проведения экспериментов аппроксимирующие по­линомы заменяют уравнениями регрессии и методом наименьших квадратов находят статистические оценки их неизвестных коэффици­ентов.

Факторный эксперимент может быть отсеивающий, когда из всего множества факторов определяются те факторы, которые суще­ственно влияют на отклики модели. Второй вид факторного экспери­мента используется для определения экстремальных значений на по­верхности отклика. В этом случае серия факторных экспериментов планируется так, чтобы достичь экстремума на поверхности отклика.

Факторный эксперимент представляет собой план, в котором все уровни каждого фактора встречаются в сочетании со всеми уровнями всех других факторов. Различные уровни некоторого фактора могут соответствовать качественным значениям (например, разные дисциплины обслуживания в устройстве) или количественным значе­ниям (например, число устройств обслуживания). Если фактор f (f=1,...,к) имеет L_f уровней, то общее число комбинаций уровней оп­ределяется произведением:

(9.1)

Если число уровней для каждого из факторов одинаково, то об­щее число комбинаций будет L^k.

Левая часть выражения (9.1) используется для обозначения фак­торного плана.

Применение факторного плана вместо классической схемы, со­гласно которой каждый раз изменяется только один фактор, имеет ряд преимуществ.

- Становится более полной картина влияния каждого фактора, по­скольку они изучаются в самых различных условиях (вследствие одновременного изменения других факторов).

- Большое число комбинаций факторов, используемых в экспери­менте, облегчает предсказание результатов, которые могут быть достигнуты при определенной комбинации условий.

- Если эффекты, вызываемые каждым фактором, статистически независимы, то о каждом факторе можно получить не меньше информации, чем при изменении в экспериментах только одного фактора при фиксации остальных.

- Если (как это часто бывает) различные факторы не являются не­зависимыми, а вызывают эффекты, которые в большей или меньшей степени коррелированны, то в этом случае только фак­торный эксперимент может дать информацию о характере этих взаимодействий. При наличии нескольких взаимосвязанных су­щественных факторов обойтись без постановки факторного экс­перимента невозможно. Для ряда часто встречающихся специ­альных задач разработано большое число стандартных фактор­ных планов.

Рассмотрим пример 2-х факторного эксперимента, с двумя фак­торами на 2-х уровнях и с двумя наблюдениями в каждом опыте, т.е. план 2². Факторы принято обозначать буквами латинского алфавита А, В, С и т.д.

Результаты экспериментов сведем в таблицу 9.1.

Таблица 9.1

Фактор А	Фактор В
Уровень 1	Уровень 2
Уровень 1	y111 y112	y121 y122
Уровень 2	y 211 y212	y 221 y222

В этой таблице y_ijg обозначает g-e наблюдение (g = 1,2) в ячейке i, j. Количество наблюдений (прогонов модели) g определяется же­лаемой точностью получения оценок откликов.

В общем случае в 2-х факторном эксперименте число уровней факторов А и В равно соответственно i и J. Обозначим математиче­ское ожидание E{y_ijg)=η_ij, тогда в планировании эксперимента предполагается верной следующая модель:

где e_ijg - ошибка опыта. Предполагается, что все эти ошибки являют­ся независимыми нормально распределенными случайными величи­нами с математическим ожиданием 0 и дисперсией σ². При имитации ошибки опытов можно сделать независимыми, применяя различные последовательности случайных чисел при прогонах модели.

9.6. Дисперсионный анализ ANOVA в планировании экспериментов

Для определения, является фактор значимым или нет, использу­ется дисперсионный анализ ANOVA (analysis of variance), который применим только к количественным факторам. С помощью него оп­ределяются количественные отклонения наблюдений от среднего значения. Если какой-либо фактор не оказывает влияние на отклик, то он является незначимым. С другой стороны, если фактор влияет на отклик, то его (фактора) количественное значение сравнивают с оценкой изменчивости наблюдения, то есть со стандартной ошибкой. Это делается для исключения эффектов, которые являются не более чем случайной флуктуацией.

Неявно в ANOVA используется аддитивная математическая мо­дель, которая определяет компоненты изменения в наблюдениях. Ее называют статистической моделью. Самая простая статистическая модель:

т.е. каждое i -е наблюдение представляет собой общее среднее по всем опытам μ, и случайную ошибку e_ig. В этой модели общее среднее не изменяется от опыта к опыту, в отличие от ошибки.

Статистическая модель для анализа данных экспериментов с од­ним фактором А имеет следующий вид:

где - главный эффект фактора А на уровне i. Все наблюдения на данном уровне обработки анализируются, используя то же самое зна­чение для а^А. Так как в этом эксперименте имеется только один фактор, число комбинаций обработки определяется числом уровней I этого фактора.

Для двух факторов общая модель факторного плана такова:

(9.2)

где - главный эффект фактора В на уровне j; - взаимодействие фактора А на уровне i и фактора В на уровне j. Сумма эффектов двух факторов не равна сумме их отдельных эффектов из-за взаимодейст­вия между ними. Главный эффект фактора определяет долю участия фактора в значении функции отклика во время перехода его с нижне­го уровня к верхнему.

Дисперсионный анализ, основанный на статистической модели (9.2), заканчивается построением таблицы ANOVA, в которой анали­зируется влияние факторов А, В, взаимодействие между факторами АВ и случайные помехи наблюдения.

С помощью ANOVA проверяется гипотеза об отсутствии влия­ния фактора. Если справедлива гипотеза об отсутствии влияния фак­тора, то считается, что все наблюдения получены из одной генераль­ной совокупности. Для проверки гипотезы используется F- распределение Фишера. Критерий Фишера определяет отношение двух выборочных дисперсий. Если фактор существенно влияет на от­клик, то значения F-распределения принимает большие значения и F- статистика становится значимой. Таким образом, большие значения F приводят к отбрасыванию гипотезы об отсутствии влияния фактора, т.е. фактор является значимым.