2015-08-21
532
Возьмем для примера 2-ой элемент базового каталога и применим к нему обобщенный метод Крамера-Лагранжа, поскольку он лишь частично образован координатными плоскостями 
и 
. Присвоим узлам индексы 
,соблюдая правило обхода против часовой стрелки.
В основании треугольной прямой призмы лежит симплекс-треугольник, трансляцией которого вдоль орта 
на расстояние 
образован объемный элемент. Точно так же можно считать, что элемент образован трансляцией верхнего
основания по орту 
. Базисные функции легко находятся по обобщенному методу Крамера-Лагранжа, т.е. умножением базисных функций симлекс-треугольников 
и 
на полином Лагранжа 
(см. п. 4.3):
, при 
(П.2.1)
Полиномы Лагранжа имеют вид:
; 
. (П.2.2)
Функции для симплекс-треугольника возьмем в виде (4.1.7):
, 
, (П.2.3)
– удвоенная площадь треугольника (см. 4.1.3). Конкретные значения коэффициентов в (П.2.3) нас пока не интересуют. Правильность базисных функций узлов элемента гарантирована использованием обобщенного метода Крамера-Лагранжа.
Найдем производные базисных функций по текущим переменным 
:
; 
;
. (П.2.4)
Элементарный объем представим в виде
, (П.2.5)
так как производные по 
и 
есть постоянные, умножаемые на полином 
.
Найдем объемную часть матрицы теплопроводности, подставляя в (5.3.2) производные (П. 2.4) с учетом (П. 2.5):
(П.2.6)
.
Типичные интегралы:
; 
. (П.2.7)
Компонент 
будет идентичен 
, если 
заменить на 
. Поэтому запишем эти части матрицы в общем виде:
(П.2.8)
Здесь при 
, 
; при 
, 
.
Так как производная по 
зависит только от 
, то при интегрировании по объему целесообразно перейти к плоским 
-координатам:
.
Производя перемножение сцепленных матриц, и интегрируя с учетом (5.3.8), получим окончательно:
(П. 2.9)
Таким образом, объемная часть матрицы теплопроводности элемента будет равна:
. (П.2.10)
Полученные результаты (П.2.8) и (П.2.9) рекомендуется проверить на правильность размерности, которая должна быть 
:
; 
; 
; 
.
В итоге имеем 
.
Матрицы 
- стандартизованы и поэтому заносятся в программу. Они станут числовыми, если символы заменить их числовыми значениями, определяемыми по узловым координатам 
, а коэффициенты теплопроводности – на их величины согласно физическому каталогу.
Поверхностные части матрицы теплопроводности 
(
пo числу поверхностей) определяются согласно формуле (5.1.3). Присвоим поверхностям элемента номера:
; 
; 
; 
; 
.
Матрицы для поверхностей 1 и 2 будут отличаться только коэффициентами 
, и индексами строк и столбцов, так как этим поверхностям принадлежат разные узлы. Интегрирование по 
можно провести с помощью -координат. Базисные функции узлов найдем, приравнивая текущую 
для первой плоскости и 
- для второй. В итоге будем иметь:
; 
; 
;
(П.2.11)
; 
; 
;
Подставим найденные базисные функции в (5.1.3) и проинтегрируем согласно (5.3.8). Получим:
. (П.2.11)
По аналогии:
. (П.2.12)
На самом деле эти матрицы имеют ранг, равный шести, но мы не стали загромождать их выражения нулевыми строками и столбцами. Номера узлов покажут их место в глобальной матрице 
.
Матрицы для остальных поверхностей находятся так же легко благодаря переходу к плоским - координатам. Типичные интегралы будут иметь вид:
; 
; , (П.2.13)
, 
, 
; 
, 
.
Поверхностные сокращенные матрицы для 
будут иметь одинаковый вид и отличаются коэффициентом 
, длиной 
и индексами ненулевых строк и столбцов:
, (П.2.14)
; 
, 
; 
.
Для определения матрицы достаточно строкам и столбцам матрицы (П.2.14) присвоить индексы соответствующей плоскости. Формула (П.2.14), будучи стандартизованной, также заносится в программу.
Матрица теплоемкости (5.1.5) находится так же легко, только интегрирование с помощью - координат ведется не по 
, а по 
, а полином Лагранжа 
интегрируется по 
. Типичные интегралы идентичны интегралам (П.2.13):
; 
(П.2.15)
, 
.
Таким образом, матрица теплоемкости будет равна:
, (П.2.16)
где 
– объем элемента.
Умножением элементов матрицы на числовые значения 
и объема элемента, сокращенная матрица теплоемкости превращается в числовую и сразу заносится в глобальную соответственно номерам узлов.
Найдем объемную часть вектора тепловой нагрузки согласно (5.1.8):
, (П.2.17)
где 
– единичный вектор-столбец.
Из (П.2.17) видно, что распределение 
по узлам элемента равномерное, независимо от его геометрии. Это означает, что желательно иметь элемент с примерно равными ребрами, чтобы распределение (П.2.17) было приближено к реальному физическому. Числовой вектор (П.2.17) заносится в глобальный вектор 
.
Поверхностный компонент тепловой нагрузки находится по (5.1.9) так же просто, как и объемный:
. (П.2.18)
По аналогии
. (П.2.19)
Остальные компоненты найдем по формулам:
; (П.2.20)
; (П.2.21)
. (П.2.22)
Превращая вектор-столбцы в числовые, их заносят соответственно номерам узлов в глобальный вектор .
Таким образом, все стандартизованные и программируемые матрицы для 2-го элемента базового каталога найдены. Остается найти средние температуры по формулам (5.4.1), поскольку они тоже должны находиться программно:
, (П.2.23)
где 
– единичная строка, 
– вектор-столбец узловых значений температуры.
Интегралы, которые следует взять для вычисления средних поверхностных температур элемента, фактически уже взяты – это выражения (П.2.18) – (П.2.22). Остаётся лишь единичные вектор-столбцы заменить на единичные строки и умножить их на вектор-столбец значений температуры в узлах, принадлежащих поверхности. В итоге будем иметь общую формулу для среднеповерхностной температуры:
. (П.2.24)
Здесь 
– число узлов, принадлежащих поверхности; 
, 
– единичная матричная строка и температура в узлах, принадлежащих поверхности, соответственно.
Из выражений (П.2.23) и (П.2.24) видно, что средние температуры находятся как среднее арифметическое температур элемента или плоскости, соответственно:
; 
. (П.2.25)
Формулы (П.2.23) и (П.2.24) или их аналоги (П.2.25) программируются, так как знание средних температур необходимо при учете температурной зависимости теплофизических свойств материала элемента и радиационного компонента теплообмена.
Описанная процедура стандартизации матриц элемента выполняется для каждого элемента базового каталога.
