Решение

при:

Приведем задачу к каноническому виду:

Определим начальный опорный план: .

Это решение является опорным, т.к. вектора условий при положительных компонентах решения линейно независимы, также , где , но не все оценки положительны (, где )

Опорный план является оптимальным, если для задачи максимизации все его оценки неотрицательны. не является оптимальным, значит критерий можно улучшить, если увеличить одну их отрицательных свободных переменных. Будем увеличивать , т.к. ее увеличение вызовет большее увеличение функции цели.

Предположим, что , тогда:

Запишем новый опорный план: . Все оценки опорного плана должны быть неотрицательны, а значит должны выполняться условия:

=>

При увеличении , первой перестает выполнять условие неотрицательности переменная , т.к. она первая обращается в ноль. Значит выведем из базиса . Теперь базисными переменными являются , а свободными . Для анализа этого плана выразим функцию цели через новые переменные.

Из ограничения (2) имеем: .

Подставляя в функцию цели: получаем:

Оформим данный этап задачи в виде симплекс-таблицы.

Начальная симплекс-таблица:

Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	в
	X3							1,5
	X4	3,5						1,5
	X5							4,5
	X6							0,7
	F	-16	-10

;

Пересчитаем элементы исходной таблицы по правилу четырехугольника:

Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	В
	X3		1,428		-0,572			0,642
	X1		0,286		0,286			0,428
	X5		1,14		-2,86			0,214
	X6							0,7
	F		-5,424		4,576			6,857

;

Пересчитав все оценки, видим, что , значит критерий можно улучшить. Будем увеличивать . Пусть , тогда:

откуда получаем:

;

Все оценки опорного плана должны быть неотрицательны, а значит должны выполняться условия:

=>

Выведем из базиса . Теперь базисными переменными являются , а свободными . Выразим функцию цели через новые переменные:

, а из ограничений (2) и (3): .

Тогда: ;

Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	В
0	X3					-1,25		0,375
	X1					-0,25		0,375
	X2				-2,5	0,875		0,1875
	X6				2,5	-0,875		0,5125
	F				-9	4,75		7,875

Пересчитав все оценки, видим, что , значит критерий можно улучшить. Будем увеличивать . Пусть , тогда:

откуда получаем:

;

Все оценки опорного плана должны быть неотрицательны, а значит должны выполняться условия:

=>

Выведем из базиса . Теперь базисными переменными являются , а свободными . Выразим функцию цели через новые переменные:

, а из ограничений (1) и (2): . Тогда: ;

Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	в
	X4			0,333		-0,416		0,125
	X1			-0,333		0,166		0,25
	X2			1,833		-0,166		0,5
	X6			-0,833		0,166		0,2
	F

Видим, что все оценки положительны, значит любое увеличение какой-либо свободной переменной уменьшит критерий. Данное решение является оптимальным. Изобразим это решение на графике:

Видим, что единственное и достигается в угловой точке области допустимых решений.