Моделювання випадкових векторів

У процесі моделювання систем керування доводиться розглядати сумісно декілька випадкових величин Х₁, Х₂,..., Х_n. Сукупність таких величин називається векторною (багатовимірною) випадковою величиною або випадковим вектором.

Розглянемо моделювання неперервного випадкового вектора. Якщо усі координати вектора є незалежними випадковими величинами, то за теоремою множення щільності розподілів спільна функція щільності має вигляд

(2.25)

де f_i – функції щільності розподілів величин

У цьому випадку моделювання випадкового вектора зводиться до моделю­вання кожної координати Х_і окремо.

Моделювання неперервного випадкового вектора з залежними складо­вими розглянемо на прикладі вектора з координатами Х ₁, Х _2, які описуються функцією щільності f = (Х ₁, Х ₂). Тоді алгоритм отримання вектора значень неперервної випадкової величини полягає у реалізації таких кроків:

· обчислюємо функцію щільності випадкової величини Х ₁

(2.26)

· визначаємо випадкові числа Х ₁ відповідно до f ₁(x ₁) за будь-яким методом, розглянутим у попередньому параграфі;

· вважаючи, що Х = Х ₁, знаходимо часткову функцію щільності для другої величини Х ₂. Така функція може бути отримана на основі теореми множення законів розподілу

(2.27)

· за допомогою виразу (2.27) для функції щільності можна визначити випадкову величину Х ₂будь-яким методом.

Тоді пара чисел (Х _{1 і} , Х _{2 і} ) буде реалізацією неперервного випадкового вектора.

Такий спосіб моделювання двовимірних векторів можна узагальнити і для багатовимірних випадкових векторів. Однак, варто мати на увазі, що обчислення за цим алгоритмом суттєво пов’язане з великими труднощами для n > 2, за виключенням тих рідкісних випадків, коли у явному вигляді можна проінтегрувати функції щільності.

Тому розглянемо інший метод, який дозволяє розв’язати задачу моделювання випадкових векторів, а саме метод розкладання за координатними випадковими величинами.

Нехай багатовимірна випадкова величина (випадковий вектор) з координатами Х_і (і= ) задається математичними сподіваннями m_i = M [ X_i ] і матрицею кореляційних моментів:

У випадку залежних координат Х_і складові випадкового вектора визначаються у процесі моделювання як лінійне перетворення некорельованих розподілених за нормальним законом нормованих випадкових величин { V₁, V₂,…, V_n } Î N (0, 1), m = 0, σ = 1 за такими формулами:

(2.28)

Коефіцієнти перетворення послідовно визначають із співвідношень: