Двофакторний дисперсійний аналіз

У попередньому параграфі зазначалося про важливість і складність ста­тистичних моделей множинної регресії. У них поведінка відгуку визнача­єть­ся не одним, а двома і більше факторами. Для визначення значущості фак­то­рів застосовується двохфакторний дисперсійний аналіз. В його основі лежить така ж ідея, як і для однофакторного. Враховується, що сума взаємовпливу двох факторів не дорівнює сумі їх окремих взаємовпливів, оскільки фактори між собою є взаємопов’язані. Головний ефект фактора визначає частку впливу фактора на значення функції відгуку за рахунок зміни його значення.

Нехай потрібно дослідити вплив двох факторів А і В на випадкову величину Y. Задане число рівнів факторів відповідно p i m. Можна кожну пару рівнів факторів А_і (і= 1, 2 ,..., р) і В_j (j= 1, 2 ,…,m) вважати рівнем деякого узагальненого фактора (А+В) _ij. Очевидно, що число рівнів фактора (А+В) _ij дорівнює p× m. Результати спостережень наведені в табл. 9.4 (розглядається випадок, коли у кожній комірці вказано одне спостереження).

Таблиця 9.4

Результати спостережень

Фактор А	Фактор В	Cереднє групове за стрічкою Хі
В1	В2	...	Вj	…	Bm
А1	Х11	Х12	…	Х1j	…	Х1m
А2	Х21	Х22	…	Х2j	…	Х2m
...	...	…	…	…	…	...	…
Аі	Хi1	Хi2	…	Хij	…	Хim
...	…	…	…	...	…	...	…
Ар	Хp1	Хp2	…	Хpj	…	Хpm
Середнє групове за стовпцем			…		…

Величини , і обчислюємо за формулами:

. (9.26)

Скориставшись однофакторним дисперсійним аналізом, а саме порівню­ючи групові середні , можна зробити висновок про вплив фактора А на відгук Х. Аналогічно, порівнюючи групові , можна говорити про вплив фактора В. Встановити вплив об’єднаного фактора (А+В) на досліджувану змінну можна за дисперсіями s_А і s_В.

Однак, для того щоб виявити вплив на Х кожного з факторів А і В окремо, необхідно розділити значення результуючого відгуку Х на групи за рівнями Окрема або тільки фактора А, або тільки фактора В.

Приймаємо гіпотезу про те, що випадкова величина Х не залежить від фактора А і від фактора В. Тобто зміна рівнів фактора А не порушує рівність а₁=а₂=...=а_р, а зміна рівнів фактора В зберігає рівність b₁=b₂=…=b_m (a_i, b_j – математичні сподівання випадкової величини Х на рівні А_і (і=1, 2,..., р) і В_j (j=1, 2,..., p) відповідно). Перевірити ці рівності можна у випадку, коли для різних комбінацій рівнів факторів А і В спостереження незалежні і відгук моделі Х має нормальний закон розподілу зі сталою величиною дисперсії s₀². Їх перевірка здійснюється за допомогою F -розподілу Фішера.

Алгоритм двофакторного дисперсійного аналізу полягає у наступному:

1. Обчислюємо загальне середнє за формулою

. (9.27)

2. Обчислюємо загальну суму квадратів відхилень спостережуваних значень відгуку Х від загальної середньої

. (9.28)

3. Обчислюємо значення вибіркової дисперсії

. (9.29)

4. Обчислюємо суму квадратів різниць між середніми за рядками і загальним середнім. Величина S_А характеризує зміну відгуку за фактором А

. (9.30)

5. Аналогічно обчислюємо величину S_В

. (9.31)

6. Знаходимо значення вибіркових дисперсій групових середніх і групових середніх :

. (9.32)

7. Обчислюємо залишкову суму квадратів, що характеризує вплив на Х неконтрольованих (залишкових) факторів

. (9.33)

8. Обчислюємо значення відповідних дисперсій:

(9.34)

9. Обчислюємо вибіркову дисперсію для оцінки параметра s₀²

. (9.35)

10. Обчислюємо спостерігаючі значення критерію Фішера для факто-­
рів А і В:

. (9.36)

11. Для заданого рівня значимості α знаходимо правосторонню критичну точку F_кр (α, k ₁, k ₂). Використовуючи таблицю критичних точок F -розподілу (Додаток 4), знаходимо:

12. Порівнюємо значення F_Аспост і F_Акр. Якщо:

· F_Аспост< F_Акр, то вплив фактора А на відгук моделі Х не підтверджується;

· F_Аспост >F_Акр, то знаходимо вибірковий коефіцієнт детермінації і робимо висновок про те, що вплив фактора А на відгук Х є значущим і становить загальної варіації.

13. Порівнюємо значення F_Вспост і F_Вкр. Якщо:

· F_Вспост< F_Вкр, то вплив фактора В на відгук моделі не підтверджується;

· F_Вспост >F_Вкр, то знаходимо . Фактор В є значущим і становить загальної варіації відгуку моделі.

Отримані показники варіації запишемо у дисперсійну таблицю (табл. 9.5)

Тепер можна перейти до вивчення технологій проведення регресійного і дисперсійного аналізів засобами GPSS World.

Таблиця 9.5

Показники двохфакторного дисперсійного аналізу

Джерело варіації спостережень	Показник варіації	Число степенів вільності	Незміщена оцінка дисперсії
Фактор А			, якщо виконується а1=а2=...=ар
Фактор В			, якщо виконується b1=b2=...=bm
Загальна варіація			, якщо виконується а1=а2=...=ар b1=b2=...=bm