Однофакторний дисперсійний аналіз

Задача дисперсійного аналізу ставиться наступним чином: нехай маємо ν незалежно випадкових величин Y ₁, Y ₂,…, Y_ν, кожну з яких спостерігаємо n_i раз. Результати спостережень наведемо у табл. 9.2. За цими даними необхідно встановити чи впливає деякий контрольований фактор А на змінні Y ₁, Y ₂,…, Y_n та оцінити степінь такого впливу.

Таблиця 9.2

Результати спостережень

Номер спостереження	Рівні фактора А
А (1)	А (2)	…	А (ν)
	Y 1(1)	Y 1(2)	…	Y 1 (ν)
	Y 2(1)	Y 2(2)	…	Y 2 (ν)
…	…	…	…	…
ni			…
Число спостережень у групі	n 1	n 2	…	n ν
Групове середнє			…
Групова вибіркова дисперсія	σ12	σ22	…	σ ν 2

Дослідження впливу факторів на мінливість середніх значень спостережуваних випадкових величин та їх кількісна оцінка і є задачею дисперсійного аналізу. В одно факторному дисперсійному аналізі причину мінливості Y можна визначити знаючи оцінку дисперсії випадкової складової і впливу фактора А.

Таким чином, однофакторний дисперсійний аналіз передбачає розклад загальної вибіркової дисперсії у вигляді суми дисперсій групових середніх і середньої з групових дисперсій

де – загальна дисперсія усіх спостережень ; –дисперсія групових середніх, зумовлена мінливістю фактора А; – середня з групових дисперсій, яка характеризує вплив випадкової складової досліджуваного процесу (характеризує дисперсію всередині кожної серії спостережень).

Через позначатимемо рівні фактора А, а_і – математичне сподівання Y на рівні А^(і). Отже, Y_j⁽ⁱ⁾ – значення величини, зафіксованої на j -тому спостереженні для і -го рівня фактора .

Групові середні обсислюють за формулою

(9.16)

Групова вибіркова дисперсія знаходиться за формулою

(9.17)

Приймаємо гіпотезу про те, що групові математичні сподівання а_і не змінюються зі змінною рівня фактора, тобто а ₁ =а ₂ =...=а_ν. Це означає, що кожна величина Y_j не залежить від фактора А, тобто на Y_j впливають лише випадкові дії. Дана вимога забезпечується організацією спостережень. Іншою вимогою проведення дисперсійного аналізу є наявність нормального закону розподілу величини Y_j на кожному рівні фактора з постійною для різних рівнів генеральною дисперсією s₀². Встановлення виду розподілу величини Y_j на кожному рівні фактора забезпечується виконанням центральної граничної теореми або критерію Пірсона. Однаковість генеральних дисперсій Y_j на різних рівнях факторів визначається за допомогою критерію Бартлетта.

Перевірка гіпотези про рівність групових математичних сподівань проводиться на основі F -розподілу Фішера.

Наведемо алгоритм реалізації однофакторного дисперсійного аналізу:

1. Знаходимо середнє усіх результатів спостережень Y, яке називають загальним середнім

(9.18)

2. Визначаємо загальну суму квадратів відхилень значення спостережень від загальної середньої

(9.19)

Сума S_y отримана як сума n ₁ + n ₂ +…+n_ν = n додатків.

3. Знаходимо оцінку вибіркової дисперсії результатів спостережень

. (9.20)

4. Визначаємо факторну суму квадратів відхилень групових середніх від загальної середньої

. (9.21)

де знаходимо за формулою (9.18)

5. Визначаємо дисперсію групових середніх

. (9.22)

6. Визначаємо оцінку середньої з групових дисперсій

. (9.23)

7. Визначаємо залишкову варіацію (залишкову суму квадратів відхилень спостережуваних значень групи від своєї групової сеердньої)

. (9.24)

8. Розраховуємо факторну і залишкову дисперсії

. (9.25)

9. Порівнюємо значення . Якщо , то спостереження не підтверджують вплив фактора А на Y.

10. Знаходимо спостерігаюче значення критерію Фішера

.

11. За допомогою таблиці (додаток 4) для заданого рівня значимості a знаходимо критичну точку F_кр (a, k ₁, k ₂), де k ₁ =ν- 1, k ₂ =n-ν; k ₁ i k ₂ – числа степенів вільності дисперсій .

12. Якщо F_спост<F_кр, то вплив фактора на відгук моделі не підтверджується. Якщо F_спост>F_кр, то знаходимо вибірковий коефіцієнт детермінації: і робимо висновок про те, що вплив фактора А на відгук Y значимий і становить від загальної варіації.

Зведемо отримані показники варіації у таблицю однофакторного дисперсійного аналізу (табл. 9.3).

Таблиця 9.3.

Показники однофакторного дисперсійного аналізу

Джерело варіації спостережень	Показник варіації	Число степенів вільності	Незміщена оцінка дисперсії
Фактор А
Залишкові фактори
Загальна варіація