Оценка сверхидентифицированного уравнения осуществляется при помощи двухшагового метода наименьших квадратов.
Алгоритм ДМНК включает следующие шаги:
1) составление приведенной формы модели;
2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;
3) определение расчетных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве факторов в структурной форме модели;
4) определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных, полученные на шаге 1.
Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.
Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении
приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических
(расчетных) значений эндогенных переменных.
Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:
• все уравнения системы сверхидентифицируемы;
• система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно
идентифицируемые уравнения.
Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения исполняется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.
ДМНК является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК.
Несмотря на важность системы эконометрических уравнений, на практике часто не принимают во внимание некоторые взаимосвязи, применение традиционного МНК к одному или нескольким уравнениям также широко распространено в эконометрике.
В частности, при построении производственных функций анализ спроса можно вести, используя обычный МНК.
Пример
Изучается модель вида
где у - валовой национальный доход;
- валовой национальный доход предшествующего года;
С - личное потребление;
D - конечный спрос (помимо личного потребления);
, - случайные составляющие.
Информация за девять лет о приростах всех показателей дана в табл.1
Таблица 1
Год | D | y | C | |
-6,8 | 46,7 | 3,1 | 7,4 | |
22,4 | 3,1 | 22,8 | 30,4 | |
-17,3 | 22,8 | 7,8 | 1,3 | |
12,0 | 7,8 | 21,4 | 8,7 | |
5,9 | 21,4 | 17,8 | 25,8 | |
44,7 | 17,8 | 37,2 | 8,6 | |
23,1 | 37,2 | 35,7 | 30,0 | |
51,2 | 35,7 | 46,6 | 31,4 | |
32,3 | 46,6 | 56,0 | 39,1 | |
Сумма | 167,5 | 239,1 | 248,4 | 182,7 |
Для данной модели была получена система приведенных уравнений:
Требуется:
1. Провести идентификацию модели.
2. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.
Решение
1. В данной модели две эндогенные переменные (у и С) и две экзогенные переменные (D и ). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные
переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1 + 1.
Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при С и D наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная С в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: D + 1 > Н. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверх-идентифицирована.
2. Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.
Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной С. Для этого в приведенное уравнение
подставим значения D и , имеющиеся в условии задачи. Получим:
= 15,8; = 16,8; = 7,4; = 14,3; = 15,0; = 27,4; = 24,0;
= 33,2; = 29,0.
Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С на теоретические и рассчитываем новую переменную + D (табл. 2).
Таблица 2
Год | D | ||
-6,8 | 15,8 | 9,0 | |
22,4 | 16,8 | 39,2 | |
-17,3 | 7,4 | -9,9 | |
12,0 | 14,3 | 26,3 | |
5,9 | 15,0 | 20,9 | |
44,7 | 27,4 | 72,1 | |
23,1 | 24,0 | 47,1 | |
51,2 | 33,2 | 84,4 | |
32,3 | 29,0 | 61,3 | |
Сумма | 167,5 | 182,7 | 350,2 |
Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную + D через Z. Решаем уравнение
.
Система нормальных уравнений составит:
= 7,678; = 0,512.
Итак, первое уравнение структурной модели будет таким:
у=7,678 + 0,512 (С + D).
Поскольку второе уравнение точно идентифицировано, то оценка его параметров может быть дана с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).
Исходя из приведенной модели, выразим переменную D из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение:
=8,636+0,506y-0,1321 -4,1587+0,2020 =
=4,4773+0,506y+0,699
Это же уравнение C=4,4773+0,506y+0,699 можно получить, применяя ДМНК ко второму структурному уравнению. В этом случае сначала определяем из первого уравнения приведенной системы, подставляя в него значения D и , а затем используем МНК к уравнению .
При этом составит:
=15,86; =24,01; =2,60; =18,28; =17,75;
=42,76; =33,38; =51,78; =41,98; =248,4
что указывает на правильность расчетов, ибо = =248,4.
Применяя МНК по второму структурному уравнению и используя при этом не фактические значения y, а расчетные, т.е. , получим систему нормальных уравнений:
По данным примера получаем:
Откуда
=33391334; a=149485264; =16896029; =2334321;
a=4,4768; =0,506; =0,699
Соответственно второе структурное уравнение составит:
y=4, 4768+0,506y+0,699
Как видим, результат совпадает с КМНК, но трудоемкость вычислений возросла.