2015-08-21
2846
Начнем с частного случая, в котором автокорреляция подчиняется авторегрессионной схеме первого порядка AR(1):
(1)
Это означает, что величина случайного члена в любом наблюдении равна его значению в предшествующем наблюдении (т. е. его значению в период 
), умноженному на 
, плюс новый 
.Данная схема оказывается авторегрессионной, поскольку 
определяется значениями этой же самой величины с запаздыванием, и схемой первого порядка, потому что в этом простом случае максимальное запаздывание равно единице. Предполагается, что значение 
в каждом наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях.
Если положительно, то автокорреляция положительная; если отрицательно, то автокорреляция отрицательная. Если 
, то автокорреляции нет, и третье условие Гаусса—Маркова удовлетворяется.
Конечно, мы не располагаем способом измерения значений случайного члена, поэтому мы не можем оценить регрессию (1) непосредственно. Тем не менее, мы можем оценивать путем оценивания регрессионной зависимости 
от 
. [3] При этом оценка равна:
|
|
|
, (2)
где
. (3)
Так как — остатки, полученные по уравнению регрессии, параметры которого определены основным МНК, то в соответствии с предпосылками МНК их сумма и среднее значение равны нулю:
; 
. (4)
Следовательно, без уменьшения общности можно предположить, что
. (5)
Предположим также
. (6)
С учетом соотношений (5) и (6) формула для расчета коэффициента автокорреляции остатков (2) преобразуется следующим образом:
. (7)
[4]
Тесты на автокорреляцию остатков: критерий Дарбина-Уотсона
Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина – Уотсона. Суть его состоит в вычислении статистики d Дарбина – Уотсона и на основе ее величины — осуществлении выводов об автокорреляции.
. (8)
Преобразуем формулу (8) расчета Критерия Дарбина – Уотсона следующим образом:
. (9)
С учетом (6) имеем:
. (10)
Сравнив выражения (7) и (10), нетрудно вывести следующее соотношение между критерием Дарбин – Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка:
. (11)
Таким образом, если в остатках существует положительная автокорреляция и 
, то 
. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то 
, а 
. Если автокорреляция остатков отсутствует, то , а 
. Следовательно,
Для более точного определения, какое значения 
свидетельствует об отсутствии автокорреляции, а какое об ее наличии, была построена таблица критических точек распределения Дарбина—Уотсона. По ней для заданного уровня значимости 
, числа наблюдений 
и количества объясняющих переменных K определяются два значения: 
— нижняя граница и 
— верхняя граница (таблица 3).
|
|
|
Табл. 3. d- статистика Дарбина—Уотсона: 
и 
, уровень значимости в 5%
| N | К=1 | К=2 | К=3 | К=4 | K=5 | |||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| 1,08 | 1,36 | 0,95 | 1,54 | 0,82 | 1,75 | 0,69 | 1,97 | 0,56 | 2,21 | |
| 1,10 | 1,37 | 0,98 | 1,54 | 0,86 | 1,73 | 0,74 | 1,93 | 0,62 | 2,15 | |
| 1,13 | 1,38 | 1,02 | 1,54 | 0,90 | 1,71 | 0,78 | 1,90 | 0,67 | 2,10 | |
| 1,16 | 1,39 | 1,05 | 1,53 | 0,93 | 1,69 | 0,82 | 1,87 | 0,71 | 2,06 | |
| 1,18 | 1,40 | 1,08 | 1,53 | 0,97 | 1,68 | 0,86 | 1,85 | 0,75 | 2,02 | |
| 1,20 | 1,41 | 1,10 | 1,54 | 1,00 | 1,68 | 0,90 | 1,83 | 0,79 | 1,99 | |
| 1,22 | 1,42 | 1,13 | 1,54 | 1,03 | 1,67 | 0,93 | 1,81 | 0,83 | 1,96 | |
| 1,24 | 1,43 | 1,15 | 1,54 | 1,05 | 1,66 | 0,96 | 1,80 | 0,86 | 1,94 | |
| 1,26 | 1,44 | 1,17 | 1,54 | 1,08 | 1,66 | 1,79 | 0,90 | 1,92 | ||
| 1,27 | 1,45 | 1,19 | 1,55 | 1,10 | 1,66 | 1,01 | 1,78 | 0,93 | 1,90 | |
| 1,29 | 1,45 | 1,21 | 1,55 | 1,12 | 1,66 | 1,04 | 1,77 | 0,95 | 1,89 | |
| 1,30 | 1,46 | 1,22 | 1,55 | 1,14 | 1,65 | 1,06 | 1,76 | 0,98 | 1,88 | |
| 1,32 | 1,47 | 1,56 | 1,16 | 1,65 | 1,08 | 1,76 | 1,01 | 1,86 | ||
| 1,33 | 1,48 | 1,26 | 1,56 | 1,18 | 1,65 | 1,10 | 1,75 | 1,03 | 1,85 | |
| 1,34 | 1,48 | 1,27 | 1,56 | 1,20 | 1,65 | 1,12 | 1,74 | 1,05 | 1,84 | |
| 1,35 | 1,49 | 1,28 | 1,57 | 1,21 | 1,65 | 1,14 | 1,74 | 1,07 | 1,83 | |
| 1,36 | 1,50 | 1,30 | 1,57 | 1,23 | 1,65 | 1,16 | 1,74 | 1,09 | 1,83 | |
| 1,37 | 1,50 | 1,31 | 1,57 | 1,24 | 1,18 | 1,73 | 1,11 | 1,82 | ||
| 1,38 | 1,51 | 1,32 | 1,58 | 1,26 | 1,65 | 1,19 | 1,73 | 1,13 | 1,81 | |
| 1,39 | 1,51 | 1,33 | 1,58 | 1,27 | 1,65 | 1,21 | 1,73 | 1,15 | 1,81 | |
| 1,40 | 1,52 | 1,34 | 1,58 | 1,28 | 1,65 | 1,22 | 1,73 | 1,16 | 1,80 | |
| 1,41 | 1,52 | 1,35 | 1,59 | 1,29 | 1,65 | 1,24 | 1,73 | 1,18 | 1,80 | |
| 1,42 | 1,53 | 1,36 | 1,59 | 1,31 | 1,66 | 1,25 | 1,72 | 1,19 | 1,80 | |
| 1,43 | 1,54 | 1,37 | 1,59 | 1,32 | 1,66 | 1,26 | 1,72 | 1,21 | 1,79 | |
| 1,43 | 1,54 | 1,38 | 1,60 | 1,33 | 1,66 | 1,27 | 1,72 | 1,22 | 1,79 | |
| 1,44 | 1,54 | 1,39 | 1,60 | 1,34 | 1,66 | 1,29 | 1,72 | 1,23 | 1,79 | |
| 1,48 | 1,57 | 1,43 | 1,62 | 1,38 | 1,67 | 1,34 | 1,72 | 1,29 | 1,78 | |
| 1,50 | 1,59 | 1,46 | 1,63 | 1,42 | 1,67 | 1,38 | 1,72 | 1,34 | 1,77 | |
| 1,53 | 1,60 | 1,49 | 1,45 | 1,68 | 1,41 | 1,72 | 1,38 | 1,77 | ||
| 1,55 | 1,62 | 1,51 | 1,65 | 1,48 | 1,69 | 1,73 | 1,41 | 1,77 | ||
| 1,57 | 1,63 | 1,54 | 1,66 | 1,50 | 1,70 | 1,47 | 1,73 | 1,44 | 1,77 | |
| 1,58 | 1,64 | 1,55 | 1,67 | 1,52 | 1,70 | 1,49 | 1,74 | 1,46 | 1,77 | |
| 1,60 | 1,65 | 1,57 | 1,68 | 1,54 | 1,71 | 1,51 | 1,74 | 1,49 | 1,77 | |
| 1,61 | 1,66 | 1,59 | 1,69 | 1,56 | 1,53 | 1,74 | 1,51 | 1,77 | ||
| 1,62 | 1,67 | 1,60 | 1,70 | 1,57 | 1,72 | 1,55 | 1,75 | 1,52 | 1,77 | |
| 1,63 | 1,68 | 1,61 | 1,70 | 1,59 | 1,57 | 1,75 | 1,54 | 1,78 |
Общая схема применения Критерия Дарбина—Уотсона будет следующей:
1. По построенному эмпирическому уравнению регрессии 
определяются значения отклонений 
для каждого наблюдения 
, 
.
2. По формуле (8) рассчитывается статистика Дарбин—Уотсона d.
3. По таблице критических точек Дарбина—Уотсона определяются два числа и , и делаются выводы по следующей схеме:
— существует положительная автокорреляция,
— вывод о наличии автокорреляции не определен,
— автокорреляция отсутствует,
— вывод о наличии автокорреляции не определен,
— существует отрицательная автокорреляция. [4]
В качестве примера применения критерия Дарбина—Уотсона, оценим на наличие автокорреляции данные, приведенные, в таблице. 2. Для этого проведем расчеты и представим результаты в таблице 3:
Табл. 3. Результаты расчетов для проверки наличия автокорреляции
с помощью теста Дарбина—Уотсона
| Год | 
| 
| 
| 
|
| -4,81561 | - | - | 23,1901 | |
| -3,9846 | -4,81561 | 0,690578 | 15,87704 | |
| -3,46483 | -3,9846 | 0,270161 | 12,00505 | |
| -2,90068 | -3,46483 | 0,318265 | 8,413944 | |
| -2,92316 | -2,90068 | 0,000505 | 8,544864 | |
| -0,77878 | -2,92316 | 4,598366 | 0,606498 | |
| -2,12374 | -0,77878 | 1,808917 | 4,510272 | |
| -1,33072 | -2,12374 | 0,628881 | 1,770816 | |
| -0,35534 | -1,33072 | 0,951366 | 0,126267 | |
| 0,87994 | -0,35534 | 1,525917 | 0,774294 | |
| 1,76656 | 0,87994 | 0,786095 | 3,120734 | |
| 2,17083 | 1,76656 | 0,163434 | 4,712503 | |
| 1,8216 | 2,17083 | 0,121962 | 3,318227 | |
| 2,65688 | 1,8216 | 0,697693 | 7,059011 | |
| 2,96326 | 2,65688 | 0,093869 | 8,78091 | |
| 2,60338 | 2,96326 | 0,129514 | 6,777587 | |
| 1,55416 | 2,60338 | 1,100863 | 2,415413 | |
| 2,34718 | 1,55416 | 0,628881 | 5,509254 | |
| 2,59369 | 2,34718 | 0,060767 | 6,727228 | |
| 3,41132 | 2,59369 | 0,668519 | 11,6371 | |
| 3,56908 | 3,41132 | 0,024888 | 12,73833 | |
| 3,19795 | 3,56908 | 0,137737 | 10,22688 | |
| 2,15997 | 3,19795 | 1,077402 | 4,66547 | |
| 3,60222 | 2,15997 | 2,080085 | 12,97599 | |
| 1,71074 | 3,60222 | 3,577697 | 2,926631 | |
| 0,30376 | 1,71074 | 1,979593 | 0,09227 | |
| 0,39466 | 0,30376 | 0,008263 | 0,155757 | |
| 1,64543 | 0,39466 | 1,564426 | 2,70744 | |
| 1,61869 | 1,64543 | 0,000715 | 2,620157 | |
| 1,83633 | 1,61869 | 0,047367 | 3,372108 | |
| -0,30379 | 1,83633 | 4,580114 | 0,092288 | |
| -0,55728 | -0,30379 | 0,064257 | 0,310561 | |
| -0,55302 | -0,55728 | 1,81E-05 | 0,305831 | |
| -0,8691 | -0,55302 | 0,099907 | 0,755335 | |
| -1,04023 | -0,8691 | 0,029285 | 1,082078 | |
| -2,16484 | -1,04023 | 1,264748 | 4,686532 | |
| -3,33383 | -2,16484 | 1,366538 | 11,11442 | |
| -4,96755 | -3,33383 | 2,669041 | 24,67655 | |
| -5,10341 | -4,96755 | 0,018458 | 26,04479 | |
| -3,23713 | -5,10341 | 3,483001 | 10,47901 | |
| - | - | 39,31809 | 267,9056 |
По формуле (8) рассчитаем величину критерия Дарбина–Уотсона, используя данные из таблицы 3:
|
|
|
.
Из таблицы, представленной на рисунке 10, найдем значения верхней и нижней границы. Для нашего примера 
, 
, поэтому:
Поскольку 
, можно сделать вывод о наличии положительной автокорреляции остатков.
Условия применимости статистики Дарбина-Уотсона для диагностирования автокорреляции: наличие в модели свободного члена, отсутствие лаговых переменных, первый порядок авторегрессионной схемы.
1. Критерий DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член. Если он не будет присутствовать, как в случае с регрессией, проходящей через начало координат, то важно вернуться к регрессии, включающей свободный член, чтобы получить RSS.
2. Методика расчета и использования критерия Дарбина — Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. То есть случайные отклонения определяются по авторегрессионной схеме первого порядка AR(1): . Здесь 
— случайный член. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы, например тест Бреуша-Годфри.
3. Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (т. е. не должно быть пропусков в наблюдениях).
4. Критерий Дарбина — Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.
5. Критерий Дарбина-Уотсона не применим для регрессионных моделей, содержащих в составе объясняющих переменных зависимую переменную с временным лагом в один период, т. е. для так называемых авторегрессионных моделей вида:
[1, 2, 4]
