Длина дуги кривой

y y = f(x)

DS_i Dy_i

Dx_i

a b x

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

По теореме Лагранжа имеем , где

Следовательно

Таким образом, длина вписанной ломаной равна

По условию - непрерывна, следовательно, функция тоже непрерывна. Поэтому существует предел интегральной суммы, который равен определённому интегралу:

Итак, получили формулу для вычисления длины дуги:

= (9)

Если уравнение кривой задано параметрически х = j(t) и у = y(t),

, где j(t) и j(t)- непрерывные функции с непрерывными производными, причём на заданном участке не обращается в ноль. В этом случае уравнения х = j(t) и у = y(t) определяют некоторую функцию , непрерывную и имеющую непрерывную производную , пусть , тогда, сделав в интеграле (9) подстановку , получим или

,

Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

, r = f(j).

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x² + y² = r².

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r²cos²j + r²sin²j = r², т.е. функция r = f(j) = r, тогда