2015-09-07
437
y y = f(x)
DSi Dyi
Dxi
a b x
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как 
.
Тогда длина дуги равна 
.
Из геометрических соображений: 
По теореме Лагранжа имеем 
, где 
Следовательно 
Таким образом, длина вписанной ломаной равна
По условию 
- непрерывна, следовательно, функция 
тоже непрерывна. Поэтому существует предел интегральной суммы, который равен определённому интегралу:
Итак, получили формулу для вычисления длины дуги:
= 
(9)
Если уравнение кривой задано параметрически х = j(t) и у = y(t),
, где j(t) и j(t)- непрерывные функции с непрерывными производными, причём 
на заданном участке не обращается в ноль. В этом случае уравнения х = j(t) и у = y(t) определяют некоторую функцию 
, непрерывную и имеющую непрерывную производную 
, пусть 
, тогда, сделав в интеграле (9) подстановку 
, получим 
или
,
Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то
Если кривая задана в полярных координатах, то
, r = f(j).
Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
1 способ. Выразим из уравнения переменную у. 
Найдем производную 
Тогда 
Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.
2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r, 
тогда
