Перехід до створення математичної моделі

· Параметризація моделі – визначають параметри, якими можна описати систему.

· Встановлення залежностей між параметрами всередині системи і навколишнім середовищем.

· Виявлення характерних особливостей цих залежностей і згуртування їх в задачі.

Моделі розв’язують два типи задач:

1. Задачі прямого рахунку – допомагають швидше розв’язати задачу і прийняти рішення.

2. Оптимізаційні, багатоваріантні задачі, які зводяться до знаходження найкращого вирішення і підтримки цього найкращого вирішення в управлінні.

Будь-яка стратегія управління базується на певному розумінні того, як фізичний процес реагує на вхідний сигнал.

На відміну від науки, де метою моделювання є глибоке вникнення в суть системи, модель в інженерному розумінні вважається адекватною, якщо всі відповідні процеси управління працюють в передбачуваному режимі, тобто є стійкий вихід з малими відхиленнями від заданого значення.

Розрізняють такі типи моделей:

1. Безперервний в часі (аналоговий) опис.

Система описується лінійними чи нелінійними диференційними рівняннями балансу маси, енергії чи сил.

В багатьох випадках нелінійні рівняння можна лінеаризувати і тим самим спростити роботу з ними.

2. Дискретний в часі опис.

Фізичні властивості описуються лінійними чи нелінійними різницевими рівняннями. Такий підхід означає, що інформація про систему доступна тільки в певні дискретні моменти часу. Цей тип опису в дійсності майже неминучий при цифровому керуванні, оскільки комп’ютери, які базуються на найбільш поширеній архітектурі фон Неймана, виконують інструкції послідовно.

3. Моделі систем, що грунтуються на дискретних подіях чи послідовності подій.

При такому описі вхідні та вихідні величини системи дискретні в часі і є бінарними сигналами типу: “включено-виключено”. Багато систем управління послідовністю можна описати як систему черг і моделювати марківськими ланками чи марківськими процесами.

4. Моделі систем з невизначеністю.

Як на самі системи управління, так і на вимірювання часто впливають небажані шуми і збурення. В одних випадках збурення і неповні знання про фізичний процес можна інтерпретувати статистично. В інших – фактори невизначеності замість кількісних характеристик можна описувати лінгвістичними і логічними виразами типу “якщо-то інакше” (експертні системи).

Ще один спосіб опису невизначеності систем – нечітка алгебра (fuzzy).

Не зовсім вірним є твердження, що процес можна вичерпно описати тільки одною моделлю. В дійсності правильно навпаки.

Найбільш правильною є найпростіша модель з можливих моделей, але така, що забезпечує управління об’єктом, котре задовольняє заданому критерію якості.

1.9. Спостережність і керованість

Існують два основні способи розробки моделей:

· на основі фізичних принципів

· на основі експериментальних даних (результатів вимірювання)

Якщо дані вимірювань використовуються в контексті знань про систему управління, то можна розрахувати значення, які не вдається виміряти. Процедура розрахунку чи оцінки значень змінних є наслідком однієї з основних характеристик системи, яка називається спостережністю.

Спостережність – це оцінка того, чи дає наявний набір вимірювання адекватну інформацію про систему.

Керованість показує, чи достатньо параметрів системи, на котру можуть впливати виконуючі механізми для управління процесом необхідним чином.

Система називається керованою, якщо можна підібрати такі значення U, щоб система досягла заданого значення Х.

Тільки тоді, коли система керована, її полюси (власні числа) можна вільно переміщувати за допомогою зворотнього зв’язку.

Якщо процес некерований – це означає, що частини системи фізично від’єднані від управляючих (керуючих) сигналів U.

Змінні стану системи:

...

...

В матричній формі:

Управляючі сигнали впливають на кожну змінну окремо. В керованій системі всі елементи матриці B ненульові. В іншому випадку змінні стану, що відповідають нульовим елементам матриці В, не можуть регулюватися сигналом управління. Значення таких змінних будуть визначатися тільки властивостями системи.

Треба добре розуміти фізичний процес інженеру. Наприклад, часто буває так, що параметри погано керовані, тобто значення b_i малі. Система формально керована, а реальний регулятор для практичного використання створити неможливо.

Якщо ж система працювала задовільно, то при автоматизації (комп’ютеризації) робота системи покращиться. Якщо система працювала незадовільно, то після автоматизації вона працювати не буде.

1.10. Структури організаційних систем

Структури реальних систем надзвичайно різноманітні, але всю множину відомих ієрархій можна розділити на 3 основні типи, залежно від видів зв’язків між елементами:

· лінійна;

· функціональна (лінійно-функціональна);

· матрична.

1.10.1. Лінійні структури

При лінійній структурі кожний елемент має тільки одного начальника, зв’язки лінійні. Така структура передбачає чітке розділення повноважень і обов’язків елемента.

Недоліки: складність координації між елементами, оскільки на першому ступені вищий елемент повинен бути компетентним у всіх питаннях роботи нижчого. Лінійна структура, зображена на рис. 1.22, використовується в системах з порівняно простими функціями елементів.

Рис. 1.22:

1.10.2. Функціональні структури

В функціональній структурі передбачена спеціалізація.

Недоліки: невирішена проблема координації, оскільки кожен нижчий елемент отримує команди від кількох керівників і тому не завжди можна визначити порядок їх виконання. В міру ускладнення управління виникають нові функціональні підслужби, і виконавці отримують ще більшу кількість керівників, що призводить до дезорганізації.

1.10.3. Матричні структури

Матричні структури зображено на рис. 1.23:

Рис. 1.23.

Кожний функціональний елемент знаходиться в подвійному підпорядкуванні. Матрична структура передбачає наявність підрозділів і досить широко застосовується на підприємствах і в наукових установах.

1.11. Структури інформаційних систем

Структури інформаційних схем – це структури, по яким передається інформація.

1.

Послідовні структури

Переваги: простота

Недоліки: мала швидкодія, велика можливість помилкової інформації.

2. Паралельні структури

Інформація надходить одночасно.

3. Кільцеві структури

При кільцевій структурі швидкодія, порівняно з послідовною, в два рази більша. Ймовірність спотворень – менша.

4. Багатозв’язна інформаційна структура

Кожен елемент зв’язаний з кожним. Максимальна швидкість передачі інформації.

5.

Структура типу “колесо”

Характеризується великою швидкістю передачі інформації.

1.12. Задачі аналізу і синтезу системи

При розв’язку технічних (динамічних) систем може бути поставлена задача аналізу або синтезу.

Аналіз системи передбачає визначення зв’язку між входом і виходом (наприклад, у виді алгебраїчного чи диференціального рівняння), а також знаходження опосередкованих показників якості системи (швидкодії, точночті).

При розв’язуванні задач аналізу відома структура всієї системи і параметри об’єкта управління. Завдання розробки системи управління зводиться до визначення параметрів управляючого органу або регулятора, який би забезпечував задані статичні і динамічні показники системи управління.

Задача синтезу полягає в визначенні структури системи, її параметрів, за заданою метою управління (цільовою функцією). Як правило, синтез систем зводиться до синтезу управляючого органу, тому що структура і параметри ОУ відомі.

1.13. Оптимальне управління

Оптимальним називається управління, яке здійснюється найкращим чином за певним показником.

Системи, що реалізують оптимальне управління називаються оптимальними.

Організація оптимального управління грунтується на виявленні і реалізаціі граничних можливостей системи. Одним із найважливіших кроків є формулювання критерію оптимальності, під яким розуміється основний показник, що визначає задачу оптимізації. У якості критерію оптимізації виступають різні технічні чи техніко-економічні показники, які виражають технічну чи економічну вигоду (втрати).

Узагальнений критерій якості роботи лінійних динамічних систем можна зобразити у вигляді функціоналу якості чи ефективності:

, де

С – вартість

К – якість функціонування

Н – надійність

Р – споживана потужність

М – маса

V – об’єм чи габарити

Оптимізувати функціонал по всім параметрам одночасно неможливо.

U=(u₁,u₂,…,u_n)

X=(x₁,x₂,…,x_n)

F=(f₁,f₂,…,f_n)

1. Критерій оптимальності за швидкодією

2. Критерій оптимальності за точністю

3. Оптимальність по умовах незалежності (інваріантності) від збурень

f_і – збурення

Х – змінна, для якої необхідно забезпечити незалежність від збурення f_і(t),

t – приріст часу

4. Оптимальність за споживаною потужністю

В залежності від реалізованого критерію системи розрізняють на:

Ø системи, оптимальні за швидкодією;

Ø системи, оптимальні за точністю;

Ø системи, оптимальні за інваріантністю від збурень;

Ø системи, оптимальні за споживаною потужністю.

Список літератури до розділу 1:

1. Густав Олсон, Джангуидо Пиани Цифровые системы автоматизации и управления. – СПб.: Невский Диалект, 2001. – 557с.

2. Куропаткин П.В. Оптимальные и адаптивные системы. – М.: Высшая школа, 1980. – 287с.

3. Петренко А.И. Основы автоматизации проектирования. – К.: Техника, 1982. – 293с.

Розділ 2. Лінійні динамічні системи

2.1. Математичне моделювання лінійних динамічних систем (ЛДС)

Лінійними називаються системи, котрі в статиці і в динаміці описуються лінійними рівняннями.

Для ЛДС притаманний принцип суперпозиції, який полягає в тому, що реакція системи на сукупність сил та збурень визначається сумою реакцій на кожну силу чи збурення, що прикладаються до системи.

Реальні системи, особливо складні, є суттєво нелінійними. До лінійного опису можна звести незначний клас систем, але і в цьому випадку властивості реальних систем тільки наближено виражаються лінійними моделями.

Рис. 2.1. Рис. 2.2

Незважаючи на обмеження лінійних моделей, їх роль у ТОУ дуже велика. Це пояснюється тим, що припущення про лінійність системи в ряді випадків не призводить до недопустимих помилок, а з іншого боку суттєво спрощує дослідження системи. Ілюстрація способів лінеаризації приведена на рис. 2.1 і рис. 2.2.

Методи дослідження реальних нелінійних систем (НС) в значній мірі базуються на методах дослідження ЛДС, наприклад – метод гармонічного балансу.

Лінійна теорія управління дозволяє вивчати лінійні моделі реальних процесів і об’єктів, а не самі процеси і об’єкти.

Будь-яку ЛДС можна представити у вигляді сукупності наступних типових структурних ланок:

Ø аперіодичної

Ø коливної

Ø інтегруючої

Ø диференціюючої

Ø консервативної

Ø ланки з запізненням

Кожна з типових ланок достатньо повно характеризується формою диференційних рівнянь, видом передатної і перехідної функції.

Типовою ланкою називається ланка, яка описується інтегро-диференційними рівняннями не вище другого порядку. На рис. 2.3 зображено декомпозицію системи 6-го порядку на типові ланки.

Рис. 2.3.

ЛДС в загальному випадку описується диференційним рівнянням n-го порядку:

/1/ -

рівняння руху системи

Вихідна дія Þ вхідна дія

Т_0...Т_n, k₀…k_m - параметри налаштування системи

2.1.1. Приклади створення математичного опису моделі

Приклад 1.

Складання рівняння руху електричної схеми, зображеної на рис. 2.4.

U_вх(t) – вхідна дія

U_вих(t) – вихідна дія

Рис. 2.4.

Диференціюємо і переміщаємо у рівнянні вихідні змінні вліво, вхідні – вправо.

Коефіцієнт при нульовій похідній в лівій частині рівняння має бути рівним 1. Отже, домножуємо на СR₁.

Позначимо ; . Тоді

- рівняння руху системи

або

Приклад 2.

Складання рівняння руху електричної схеми, зображеної на рис. 2.5, і знаходження передатної функції (W(p)).

Характерним для ОП є високий коефіцієнт підсилення по напрузі k=10⁴…10⁶ , отже U₀»0.

Rзз

i1

- високе приймемо = ∞

Рис. 2.5.

Складаємо рівняння руху системи:

/1/-/4/, =0, бо операційного підсилювача →∞

З рівняння /1/: , бо

З рівняння /2/: , бо

З рівняння /3/:

З рівняння /4/: /*R_з.з.

– рівняння руху системи (5)

- коефіцієнт підсилення

Знак “–” в рівнянні (5) означає, що вихідна напруга зсунута за фазою -π (180°), як зображено на рис. 2.6.

Рис. 2.6.

або

Зображення рівняння руху системи в операторній формі:

Передатна функція:

Приклад 3.

Складання рівняння руху електро-механічної системи і знаходження передатної функції, поданої на рис. 2.7.

Рис. 2.7.

Тиск повітря на клапан К є вхідною величиною. Вихідною величиною є напруга, яка знімається з потенціометра R. При зміні тиску змінюється сила, яка прикладена до штоку поршня, внаслідок чого переміщується зв’язаний з ним повзунець потенціометра R. Переміщення X₁ залежить від сил, які діють на поршень.

Діючі сили:
Сила тиску на поршень (пропорційна тиску Хвх)	aХвх
Сила протидії пружини (пропорційна деформації Х1)	bX1
Сила в’язкого тертя (пропорційна швидкості переміщення)
Сила інерції

Складаємо балансове рівняння:

aХ_вх-bX₁- =

m – маса поршня і зв’язаних з ним деталей

+ +bX₁=aХ_вх /1/

/2/

Підставляємо в /1/ співвідношення /2/ і домножуємо ліву і праву частину на коефіцієнт так, щоб при була 1.

Введемо позначення:

; ; ;

/3/ – рівняння руху системи

Зображення рівняння руху системи в операторній формі:

В деяких випадках зручніше визначити передатну функцію ланки (системи), а потім з неї записати рівняння руху системи (приклад 4,5).

Приклад 4.

Знаходження W(p) мостової електричної схеми, зображеної на рис. 2.8.

Вхідна дія – напруга на вході

Вихідна дія – напруга на другій діагоналі

Рис. 2.8.

де T=RC – постійна часу

Приклад 5

Знаходження передатної функції електричної схеми, зображеної на рис. 2.9.

Рис. 2.9.

Ż =

.

Ż = ||R = =

Тоді

.

.

W(p)= = =

де k= , T=

2.2. Передатна функція

Передатною функцією називаєтьсявідношення перетвореної за Лапласом вихідної дії до перетвореної за Лапласом вхідної дії при нульових умовах і відсутності збурень.

Нульові початкові умови означають не тільки рівність f(t)=0 при t=0, але й нульові умови у всіх похідних до (n-1) включно, де n – порядок системи.

- зображення рівняння руху системи в Лапласівській формі,

де

З іншого боку р=jw, де w=2pf – кутова частота, а .

2.3. Правила спрощення структурних схем

Часто буває так, що реальна система (чи модель системи) зображається сукупністю зв’язаних між собою передатних функцій, які утворюють складну структурну схему.

При задачі аналізу виникає потреба знаходження результуючої передатної функції, тобто спрощення структурної схеми.

Приклад 1.

Спрощення структурної схеми, зображеної на рис. 2.10, до виду, зображеного на рис. 2.11.

Рис. 2.10. Рис. 2.11

1. Послідовне з’єднання:

2.

Паралельне з’єднання:

3. Зворотній зв’язок:

4. Переміщення вузла проти проходження сигналу:

5.

Переміщення вузла за проходженням сигналу:

Якщо вузол переноситься проти напрямку проходження сигналу, то у вітку, що переноситься, необхідно включити всі елементи з передатними функціями, які зустрічаються між старим і новим вузлом.

Якщо вузол переноситься за напрямком проходження сигналу, то у вітку, що переноситься, необхідно включити всі елементи з оберненими передатними функціями, які зустрічаються між старим і новим вузлом.

6.

Переміщення точки сумування за проходженням сигналу:

7. Переміщення точки сумування проти проходження сигналу:

Якщо точка сумувань переноситься за напрямком проходження сигналу, то у вітку, що переноситься, необхідно включити передатні функції всіх елементів, які зустрічаються на шляху між старою і новою точками сумування.

Якщо точка сумувань переноситься проти напрямку проходження сигналу, то у вітку, що переноситься, необхідно включити елементи з оберненими передатними функціями всіх елементів, які зустрічаються на шляху між старою і новою точками сумування.

Результуюча передатна функція структурної схеми, зображеної на рис. 2.10, використовуючи правила 1-3, буде мати вид

2.4. Частотні характеристики

Розрізняють 4 типи частотних характеристик:

1. АФЧХ – амплітудо-фазо-частотна характеристика.

2. АЧХ - амплітудо-частотна характеристика.

3. ФЧХ - фазо-частотна характеристика.

4. ЛАФЧХ – логарифмічна амплітудо-фазо-частотна характеристика.

Оскільки більшість задач можна розв’язати в частотній області, наприклад, оцінити стійкість системи, визначити запас стійкості, розрахувати коректуючі елементи і т. ін., то повернення в часову область (зворотнє перетворення Лапласа) може не здійснюватись.

Амплітудо-фазо-частотна характеристика – це геометричне місце кінців вектора передатної функції при зміні частоти від 0 до +¥.

2.4.1. Шляхи побудови АФЧХ

Розрізняють 2 шляхи побудови АФЧХ:

1. Експериментальний шлях побудови АФЧХ

а). Змінюючи частоту 0<w<¥ визначаємо модуль коефіцієнта передачі

Х_вих, Х_вх – амплітудні значення дій.

б). Вимірюємо фазову характеристику j(w) при зміні частоти 0<w<¥.

в). АФЧХ будується на комплексній площині. На промені кута φ відкладаємо відповідне значення модуля |W(ω)|.

W(w)=Re(w)+Im(w)=a(w)+jb(w) – рівняння руху системи 3-го порядку.

Графік побудови АФЧХ експериментальним шляхом зображено на рис. 2.12.

Рис. 2.12.

2. Теоретичний шлях побудови АФЧХ

а). Необхідно мати рівняння руху системи

C(p)X_вих(p)=B(p)X_вх(p)

B(p)=(k₀+k₁p+…+k_mp^m)

б). Знаходимо передатну функцію

в). Замінюючи р=jw, знаходимо:

W(w)=a(w)+jb(w)

г). Змінюючи w від 0 до ¥ на комплексній площині будуємо графік АФЧХ (W(w))

Графік побудови АФЧХ теоретичним шляхом зображений на рис. 2.13.

Рис. 2.13.

Приклад:

Побудова АФЧХ теоретичним шляхом для системи 2-го порядку.

- рівняння руху системи

- лапласівське зображення рівняння руху системи

x - коефіцієнт загасання

Замість р підставляємо jw:

Домножуємо чисельник і знаменник на спряжений вираз: , тоді

АФЧХ будується, підставляючи w від 0 до ¥ в вирази дійсної а(ω) і уявної b(ω).

Кількість квадрантів, які займає годограф передатної функції, рівна порядку системи (рис. 2.14).

Рис. 2.14.

2.5. Амплітудо-частотна характеристика (АЧХ)

Амплітудо-частотною характеристикою називається залежність модуля передатної функції від частоти, при зміні частоти від 0 до ¥. АЧХ зображена на рис. 2.15 як модуль від АФЧХ рис. 2.16.

Рис. 2.15. Рис. 2.16.

2.6. Фазо-частотна характеристика (ФЧХ)

Фазо-частотною характеристикою називається залежність фазового зсуву між вихідною та вхідною дією при гармонічному вхідному сигналі. Приклад ФЧХзображено на рис. 2.17:

Рис. 2.17.

Будувати АЧХ та ФЧХ по осі абсцис бажано в однаковому масштабі.

2.7. Особливості АФЧХ. Зв’язок між АФЧХ і перехідною функцією

1. Границя, до якої прямує функція при t®¥ рівна значенню АФЧХ при w=0.

2. Значення перехідної функції при t=0 рівня граничному значенню АФЧХ при w®¥.

3. Якщо перехідна функція при t=0 має певну швидкість зміни , то АФЧХ при w®¥ прямує до , (р=jw), як до границі, отже наближається до початку координат, рухаючись вертикально знизу вверх.

4. Якщо перехідна функція починається при t=0 з горизонтальної дотичної і має певне прискорення =d, то АФЧХ при w®¥ прямує до як до границі і наближається до початку координат, рухаючись горизонтально зліва направо.

2.8. АФЧХ при від’ємних частотах. Від’ємна АФЧХ. Обернена АФЧХ

1. W(-w)

АФЧХ на від’ємних частотах є дзеркальним відображенням на додатних частотах.

2.
W(w)=a(w)+jb(w)

-W(w)=-a(w)-jb(w)

Кожне значення АФЧХ розвернуте на π (180 ) відносно початку координат (рис.).

3.

Від’ємна АФЧХ та обернена АФЧХ використовуються в методі гармонічного балансу для дослідження нелінійних систем управління (рис.).

2.9. Логарифмічна амплітудо-фазо-частотна характеристика (ЛАФЧХ)

Зручніше користуватись десятковим логарифмом і будувати окремо логарифмічно-амплітудну і фазову характеристики.

– одиниці вимірювання дБ (децибел)

1 Бел представляє собою логарифмічну одиницю, що відповідає десятикратному збільшенню потужності.

ДБ – 1/10 частина Бела. Оскільки модуль W(w) є відношення вхідних і вихідних величин, а не потужностей, то збільшення цього відношення в 10 разів відповідає збільшенню потужності в 100 разів, що відповідає 2 Бел або 20 дБ.

Рис. 2.18.

Особливість логарифмічної характеристики, зображеної на рис. 2.18, полягає в тому, що вона відображається сукупністю відрізків прямої.

2.10. Передатні функції типових ланок

Типовою ланкою називається ланка, яка описується диференційним рівнянням не вище другого порядку.