Множество элементов , , , называется группой, если определена бинарная операция , которая каждой паре элементов , ставит в соответствие элемент так, что выполняются свойства (аксиомы группы):
а) (замкнутость по отношению к операции );
б) (ассоциативность операции );
в) (существование нейтрального элемента);
г) (существование обратного элемента для каждого элемента группы).
Группа называется коммутативной (абелевой) если .
Множество элементов , , , называется полем, если на нем определены две бинарные операции и , условно называемые сложением и умножением, такие, что выполняются аксиомы поля:
а) является коммутативной группой по сложению;
б) совокупность всех ненулевых элементов является коммутативной группой по умножению;
в) , (дистрибутивность сложения и умножения).
Множество элементов , , , называется линейным (векторным) пространством над полем , а элементы множества называются векторами, если на определены две бинарные операции – сложение векторов (+) и умножение вектора на скаляр (), такие, что
|
|
I) есть коммутативная группа по сложению векторов.
II) Операция умножения вектора (, ,…) на скаляр (, ,…) удовлетворяет следующим условиям:
а) (замкнутость пространства относительно умножения вектора на скаляр);
б) (ассоциативность умножения вектора на скаляр);
в) , (дистрибутивность сложения векторов и умножения вектора на скаляр);
г) , где – элемент поля (скаляр), нейтральный относительно операции умножения скаляров в поле .
Метрикой (расстоянием) на произвольном множестве называется вещественная функция (или функционал[1]) , определенная для любой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:
а) , и только если ;
б) (симметрия);
в) (неравенство треугольника).
Множество , на котором задана метрика , называется метрическим пространством .
Пусть – линейное пространство над полем . Функция (функционал) называется нормой вектора , если она удовлетворяет следующим условиям:
а) , причем , только если ;
б) (неравенство треугольника);
в) .
Пусть – линейное пространство над полем (или ). Функция (функционал) называется скалярным произведением, если она удовлетворяет следующим условиям:
а) ;
б) ;
в) , причем , только если .
В пространстве со скалярным произведением выполняется неравенство Шварца
или ,
на основе которого может быть введено понятие угла между векторами (только для пространства над полем ), такого что
.
Совокупность векторов линейного пространства является линейно независимой, когда в том и только в том случае, если при всех (здесь – количество векторов).
Если в пространстве можно найти линейно независимых элементов, а любые элементов этого пространства линейно зависимы, то пространство имеет размерность . Если в можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых векторов, то говорят, что пространство бесконечномерно.
|
|
Базисом -мерного пространства называется любая система из линейно независимых векторов. Базисом бесконечномерного пространства является бесконечная совокупность векторов, такая, что любое ее конечное подмножество линейно независимо.
2. Прямое и обратное -преобразование
Прямое -преобразование последовательности определяется выражением
.
Обратное -преобразование
,
где – контур, расположенный в области сходимости и охватывающий начало координат, направление обхода контура – против часовой стрелки.
Теорема о вычетах:
,
где – изолированные полюсы, находящиеся внутри контура интегрирования. Если – полюс порядка , то
.
Свойства -преобразования:
а) линейность
б) сдвиг последовательности
в) отражение последовательности
г) умножение на экспоненту
д) умножение на линейную последовательность
е) переход к комплексно-сопряженной последовательности
ж) свертка последовательностей
з) произведение последовательностей