Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гауса

Системою лінійних рівнянь з n невідомими х₁ х₂ х₃…n_n називають система виду:

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ +... + a _1n x _n = b _1;
a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ +... + a _2n x _n = b _2;
..........................................
a _{m 1} x ₁ + a _{m 2} x ₂ +... + a _mn x _n = b _m;

де х _1, х _2,..., х _n - невідомі, значення яких підлягають знаходженню. Як видно зі структури системи, в загальному випадку число невідомих не обов'язково має дорівнювати числу рівнянь самої системи. Числа а _11, а _12,..., а _mn називаються коефіцієнтами системи, а b _1, b _2,..., b _m - її вільними членами. Для зручності коефіцієнти системи а _ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) та вільні члени b _i (i = 1, 2,..., m) забезпечені індексами. Перший індекс коефіцієнтів а _ij відповідає номеру рівняння, а другий індекс - номеру невідомої х _i, при якій коефіцієнт поставлений. Індекс вільного члена b _i відповідає номеру рівняння, у яке входить b _i.

Система лінійних рівнянь назив:

1) Нульовою, якщо всі коефіцієнти і вільні члени – нулі.

2) Однорідною, якщо всі члени – 0.

3) Неоднорідні, якщо існує хоча б одне з вільних членів відмінні від 0 (bi не = 0)

Розв’язком системи рівнянь назив. такий впорядкований набір чисел (альфа 1, альфа 2…) при підстановці яких замість невідомих, всі рівняння перетвор. в тотожності.

Система лінійних рівнянь назив:

- Сумісною, якщо б має хоча б 1 розв’язок;

- Не сумісною, якщо не має розв’язків;

- Означеною, якщо має рівно 1 розв’язок;

- Якщо має більш ніж 1 розв’язок.

Ефективним методом розв’язання і дослідження системи лінійних рівнянь є метод виключення невідомих – метод Гауса.

Він полягає в тому, що дана система лінійних рівнянь перетвор в рівносильну їй сис-му спец виду (трикутного), яка легко досліджується і розв’язується.

Для перетворення даної сис-ми лінійних рівнянь до спец виду, її піддають перетворенням:

- Додавання до обох частин 1 рівняння системи відповідних частин іншого рівняння тієї ж системи, помножених на деяке число.

- Перестановка місцями рівнянь у системі.

- Видалення із системи рівнянь виду 0=0.

Перетворення викон над розширеною матрицею системи так, щоб зліва була одинична матриця, тоді справа буде матриця невідомих.

Означення вектора, абсолютної величини вектора,