2015-09-07
947
Як помножити матрицю на дійсне число? додавання матриць.
За матрицями за певними правилами виконуються операції +, *, матриці на число.
Множення матриць
Множення двох матриць має сенс лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. Якщо A — матриця m*n (m рядків, n стовпчиків), а B — матриця n*p (n рядків, p стовпчиків), їх добуток AB є матрицею m*p (m рядків, p стовпчиків) що розраховується за формулою:
(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] +... + A[i, n] * B[n, j] для кожної пари i та j.
Додавання матриць
Якщо дано дві матриці m-на-n A і B, можемо означити їх суму A + B як матрицю m-на-n, що утворюється додаванням відповідних елементів, себто,
(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j].
Які матриці можна множити? Як знайти добуток матриць? Чи має добуток матриць властивість комунікативності?
Множення 2 матриць можливе лише для узгоджених матриць.
Матриця А назив. Узгодженою з матрицею В якщо кількість стовбців першої матриці =кількості рядків другої матриці.
Добуток матриці Аmn, що складається з елементів (аіу) на число к, називається матриця к Аmn, що отримується з матриці А множенням усіх її елементів на к.
|
|
|
Протилежна, транспонована та вироджена матриці.
Матриця, яку отримано з матриці множенням на -1 називають протилежною даній матриці і позначають –А. Елементи протилежних матриць відрізняються тільки знаками.
Якщо рядки матриці n-го порядку зробити стовпцями, а стовпці – рядками відповідно, то кажуть, що матриця транспонована (Ат).
Квадратна матриця А називається виродженою (особливою), якщо її визначник дорівнює 0 і невиродженою (неособливою) – в іншому випадку
Які матриці мають визначник? Правила обчислення визначників другого та третього порядків.
Кожна квадратна матриця має свій визначник, який позначають символом IАI. Прямокутна матриця у якої кількість рядків не дорівнює кількості стовбців визначника немає.
Визначник другого порядку записується так:
׀а11 а12 ׀
׀а21 а22׀
елементи а11 , та а22 складають головну діагональ, а елементи а12, а21 – побічну діагональ цього визначника.
Визначник третього порядку записується так:
а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
Мінор та алгебраїчне доповнення елемента матриці.
Мінори М і g, елементи а і g називаються визначник, який утворюється із даного визначника викреслюваним і того рядка g = рядка
▲= а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
Алгебраїчним доповненням А g називають вираз-1і+у\ *М і у\
Яка матриця має собі обернену? Як знаходять та позначають обернену матрицю до матриці А?
Квадратна матриця А має обернену тоді і тільки тоді, коли вона не вироджена. Обернена матриця для даної невиродженої матриці єдина. Для матриці А n-го порядку її знаходять за формулою А-1 =1/ IАI
|
|
|
Властивості визначників.
Визначники другого та третього порядків
Вираз 
називається визначником другого порядку.
Вираз
називається визначником третього порядку.
Символи 
називаються елементами визначника, причому перший індекс показує номер рядка, а другий індекс – номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.
Елементи 
у визначнику (1) і 
у визначнику (2) складають головну діагональ, а елементи 
у визначнику (1) і 
у визначнику (2) складають побічну діагональ.
Визначник третього порядку обчислюється за правилом трикутника: перші три доданки в правій частині формули (2) є добутками елементів, що на головній діагоналі і в вершинах двох трикутників, у яких одна сторона паралельна головній діагоналі. Аналогічно утворюються доданки зі знаком мінус, де за основу береться побічна діагональ.
Елементами визначника можуть бути числа, алгебраїчні чи тригонометричні вирази, функції.
Основні властивості визначників:
1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями.
2. Якщо переставити місцями два рядки (стовпці), то визначник поміняє знак.
3. Якщо один з рядків (стовпців) визначника складається тільки з нулів, то визначник дорівнює нулю.
4. Якщо визначник має два однакових рядки (стовпці), то він дорівнює нулю
5. Спільний множник, що мітиться в усіх елементах одного рядка (стовпця), можна винести за знак визначника.
6. Якщо у визначнику елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
7. Якщо кожен елемент рядка (стовпця) є сума двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у одного з яких рядок (стовпець) складається з перших доданків, а у другого – з других; інші елементи усіх трьох визначників однакові.
8. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.
