Середня довжина вільного пробігу молекули

Виконуючи тепловий рух, молекули газу час від часу стикаються одна з одною. Кожна молекула вільно пролітає коротку відстань від одного зіткнення до іншого. Цю відстань називають довжиною вільного пробігу. Навіть для однієї і тієї самої молекули ці відстані відрізняються. У момент зіткнення швидкість молекули відчуває різку зміну як за величиною, так і за напрямком. У результаті траєкторія молекули являє собою ламану лінію, а просування молекули вперед відбувається порівняно повільно. Для опису руху молекул газу Клаузіус ввів поняття середньої довжини вільного пробігу . Розрахуємо цю величину на підставі молекулярно-кінетичної теорії газу, скориставшись моделлю твердих куль.

Для спрощення розрахунку спочатку припустимо, що всі молекули перебувають у стані спокою, а рухається тільки одна молекула з середньою швидкістю відносно молекул, які перебувають у стані спокою. Рухаючись, молекула буде зіштовхуватися з усіма нерухомими молекулами, центри яких відстоять від траєкторії руху центра молекули на відстанях, що не перевищують ефективний діаметр молекули . За одиницю часу молекула, за якою ведеться спостереження, зіштовхнеться з усіма молекулами, центри яких лежать всередині циліндра з висотою і радіусом основи (рис 7.1). Число таких зіткнень молекули, що рухається, з молекулами, які перебувають у стані спокою, буде дорівнювати:

(7.1)

де – число молекул в одиниці об'єму. Оскільки в газі рухаються всі молекули, то можливість зіткнення двох молекул залежить від їх відносної швидкості. На основі закону розподілу молекул газу за швидкостями Максвелл показав, що відносна середня швидкість пов'язана із прийнятою раніше середньою швидкістю співвідношенням . Тоді середнє число зіткнень кожної молекули за одиницю часу буде дорівнювати:

(7.2)

де – так званий ефективний перетин молекули, що чисельно дорівнює площі, в яку повинна потрапити молекула, щоб вона могла провзаємодіяти з такою самою іншою молекулою.

Очевидно, що у разі досить великої кількості зіткнень середня довжина вільного пробігу молекули буде дорівнювати:

(7.3)

Оскільки тиск газу пов'язаний з концентрацією його молекул співвідношенням , то з рівняння (7.3) випливає, що за постійної температури газу має місце наступне співвідношення: