Теоретичні відомості

Розглянемо рух твердого тіла, закріпленого на нерухомій осі О'О'', навколо якої воно може вільно обертатись (рис.2.1). Нехай на елементарну масу тіла Δ m_i діє стала величина f_i. Тоді маса тіла Δ m_i набуває сталого тангенціального прискорення a_t, яке визначає тангенціальна складова f_t. Для останньої другий закон Ньютона має вигляд

f_ti = Δ m_i a_ti. (2.1)

Як бачимо (рис.2.1),

f_ti = f_i cosα = Δ m_i a_ti. (2.2)

Нормальна складова сили f_ni забезпечує доцентрове прискорення і на кутове прискорення не впливає. Розглянемо кутове прискорення

Рис. 2.1

β =

тоді рівняння (2.2) набуває вигляду

f_i cosα = Δ m_i r_i β.

Помноживши обидві частини цього виразу на r_i, одержимо

f_i r_i cosα = Δ m_i r_i² β. (2.2а)

Добуток r_i cosα дорівнює довжині перпендику­ляра, опущеного на напрям сили з точки 0.

Величину

М_і = f_i r_i cos α, (2.3)

яка чисельно дорівнює добутку величини сили f_i на довжину перпендикуляра, опущеного на напрям сили з точки 0 (центра обе­ртання), називають моментом сили відносно точки 0.

Величну

J_i = Δ m_i r_i², (2.4)

яка чисельно дорівнює добутку маси Δ m_i на квадрат відстані від точки зосере­дження цієї маси до центра обертання, називають моментом інерції маси m від­носно точки 0.

Знайшовши суму виразу (2.2а) для всіх елементарних мас, на які розбито тіло, і враховуючи формули (2.3) і (2.4), остаточно одержимо

M = J β, (2.5)

де .

Рівняння (2.5) називають основним рівнянням динаміки обертального руху.

Якщо відомий момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через центр ваги, то за теоремою Штейнера легко розрахувати момент інерції будь-якої осі, якщо вона паралельна першій. Момент інерції J відносно будь-якої осі обертання дорівнює сумі моменту інерції J₀ відносно осі, яка проходить через центр ваги тіла й паралельна заданій, та добутку маси тіла на квадрат відстані l між осями:

. (2.6)

Фізичним маятником називають тіло, яке може виконувати коливання навколо горизон-тальної осі, що проходить через точку, незбіжну з його центром ваги (рис.2.2). У поло­женні рівноваги центр ваги С маятника знахо­диться під точкою його підвісу О на одній із ним вертикалі. У результаті відхилення маятника на кут φ від положення рівноваги виникає обертальний момент, який намагається повернути маятник у положення рівноваги.

, (2.7)

Рис. 2.2

де m – маса маятника; l – відстань між точ­кою підвісу та центром ваги маятника. Знак “мі­нус” указує, що обертальний момент М намагається зменшити кут φ, тобто повернути маятник у положення рівноваги.

Із формул (2.5) та (2.7) маємо

, (2.8)

де J – момент інерції маятника відносно осі, яка проходить через точку підвісу; β – кутове прискорення (β = φ'').

Для малих кутів sinφ φ.

Рівняння (2.8) може бути подане у вигляді диференціального рівняння другого порядку:

, (2.9)

де . (2.10)

Із формул (2.9) і (2.10) випливає, що за малих кутів φ фізичний маятник ви­конує гармонічні коливання, частота яких залежить від маси маятника m, моменту інерції J відносно осі обертання і відстані між центром ваги маятника С та віссю обертання l. Величину

(2.11)

(де ν – частота коливань; Т – період коливань) називають кутовою або циклі­чною частотою. Замінивши значення ω у формулі (2.10), маємо вираз для періоду коливань фізичного маятника:

Т = 2 π . (2.12)

Порівнюючи вираз (2.12) із аналогічним для періоду коливань математич­ного маятника

Т = 2 π , (2.13)

бачимо, що математичний маятник із довжиною

(2.14)

матиме такий же період, що й даний фізичний маятник.

Величина l_ЗВ має назву зведеної довжини фізичного маятника. Виведений із положення рівноваги фізичний маятник буде виконувати коливання з таким же періодом, що й математичний маятник довжиною l.

Якщо до осі фізичного маятника підвісити математичний маятник довжиною, рівною зведеній довжині фізичного маятника, то відхилені на однаковий кут обидва маятники коливатимуться з однаковим періодом так, що кулька мате­матичного маятника буде весь час знаходитися в одному й тому ж місці фізич­ного маятника. Цю точку (вона лежить на відстані l_ЗВ від осі обертання) називають центром коливання даного фізичного маятника (точка О', рис. 2.2).