Теоретичні відомості

Рис. 5.1

в)

Коливаннями називають процеси, що мають той чи іншийступінь повторюваності. Коливання маятника годинника, хвилі на воді, змінний електричний струм, звук – усе це приклади різних коливань.

Найпростіші – гармонічні коливання, за яких величина, що коливається (наприклад, відхилення від положення рівноваги маятника), змінюється з часом за законом синуса або косинуса.

Рис. 5.1

Розглянемо систему, яка складається з важка масою m, підвішеного на
пружині (рис.5.1, а). Під дією сили тяжіння mg пружина видовжиться на величину

(рис.5.1, б). У стані рівноваги сила тяжіння mg врівноважується силою жорсткості пружини k Δ L₀

. (5.1)

Якщо змістити вантаж від стану рівноваги на відстань х (рис.5.1, в), то видовження пружини буде Δ L₀+ x. Проекція результуючої сили на вісь X матиме значення

. (5.2)

Враховуючи умову рівноваги (5.1), одержимо F = – kх, де k – коефіцієнт жорсткості пружини; х – зміщення. Знак "мінус" означає, що зміщення і сила мають протилежні напрями.

Під дією сили пружності F вантаж буде рухатися до стану рівноваги зі швидкістю , яка весь час збільшуватиметься. При цьому потенціальна енергія пружної системи буде зменшуватися, а кінетична – збільшуватися. Набувши стану рівноваги, вантаж продовжуватиме рухатися по інерції. Цей рух буде сповільнений і закінчиться тоді, коли кінетична енергія повністю перетвориться на потенціальну. Такий же процес матиме місце й у разі руху вантажу в зворотному напрямку.

Якщо тертя в описаній системі відсутнє, її енергія зберігатиметься і вантаж буде рухатися як завгодно довго, отже, виконуватиме вертикальні гармонічні коливання.

За другим законом Ньютона рівняння руху для вантажу має вигляд . Перетворимо це рівняння до вигляду

позначимо , тоді матимемо

Рух вантажу можна описати лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку. Розв'язок цього рівняння матиме вигляд

, (5.3)

де а – амплітуда коливання; – фаза коливання; – кутова або циклічна частота; t – час; – початкова фаза коливання в момент часу t = 0. Графік такого коливання наведений далі (рис.5.2).

Рис. 5.2

Кутова частота пов'язана з періодом коливань Т співвідношенням

. (5.4)

Підставляючи у вираз (5.4), одержимо

. (5.5)

За наявності сил тертя в системі енергія коливальної системи зменшується. Якщо втрати енергії не поповнювати за рахунок роботи зовнішніх сил, коливання важка будуть згасати і рівняння його руху матиме вигляд

де – сила тертя; r – коефіцієнт сили тертя.

Перепишемо це рівняння у вигляді , позначимо , , одержимо

Рівняння матиме такий розв’язок

, (5.6)

де а ₀ – початкова амплітуда в початковий момент часу; е – основа натурального логарифма; – коефіцієнт згасання.

Позначимо , тоді період коливань дорівнюватиме

. (5.7)

Таким чином, рух вантажу являє собою гармонічні коливання частотою ω з амплітудою, яка змінюється за законом

(5.8)

Графік такого коливання наведений далі (рис.5.3).

Рис.5.3

Амплітуди коливань утворюють геометричну прогресію, тобто, якщо , то і т.д.

Логарифм відношення двох послідовних значень амплітуди, відмінних одна від одної на час, рівний періоду Т, називають логарифмічним декрементом згасання і позначають λ.

. (5.9)