Трагедия общего (Tragedy of Commons) – теоретико-игровая интерпретация

В условиях, когда экономические агенты руководствуются только частными интересами, общественные блага недопроизводятся, и общие ресурсы используются на уровне интенсивности выше оптимального.

Пусть n агентов-фермеров обладают общей землей. Все они выпасают на этой земле свои стада. Обозначим g_i размер поголовья, выпасаемого i -ым фермером. Общее число выпасаемых животных составляет, таким образом, G = g₁ + g₂ + …+ g_n. Издержки по покупке и уходу за одним животным составляют C и не зависят от размера стада фермера. Доход фермера от выпаса одного животного на общей земле при общем числе выпасаемых животных, равном G, составляет v(G).

$ G_max: v(G) > 0, при G < G_max

v(G) = 0, при G ³ G_max (1)

Для всех G < G_max, v’(G) < 0, v’’(G) < 0 (2)

Перед началом сезона выпасов фермеры одновременно принимают решения о количестве приобретаемых животных. Предположим, что количество животных может принимать любые действительные значения.

Таким образом, стратегия i-ого фермера состоит в выборе g_i.

Пространство стратегий есть [0; ¥), g_iÎ [0; ¥)

Выигрыш i-ого фермера от выпаса g_i животных в случае, когда другими фермерами выпасается (g₁, …, g_i-1, g_i+1, …, g_n), равен

g_iv(g₁ + … + g_n) – cg_i (3)

Чтобы набор стратегий (g₁*, g₂*, …, g_n*) составлял равновесие по Нэшу, необходимо, чтобы значение g_i*, " i доставляло максимум выражению (3) при условии, что стратегии других фермеров: (g₁*, …, g_i-1*, g_i+1*, …, g_n*).

Условия первого порядка дают:

v(g_i + g_-i*) + g_iv'(g_i + g_-i) – c = 0, (4)

где g_-i* = g₁* + …+ g_i-1* + g_i+1* + …+ g_n*.

Подставляя g_i* в условие (4) и суммируя условия первого порядка для всех n фермеров, получаем:

v(G*) + G* v’(G*) – c = 0 (5)

где G* = g₁* + g₂* + … + g_n*

Напротив, социальный оптимум G** - общий объем поголовья, максимизирующий общий доход хозяйства, удовлетворяет условию

(Gv’(G) – Gc), (6)

условие первого порядка для которого имеет вид:

v(G**) + G**v'(G**) – c = 0. (7)

Сравнивая (5) и (7), заключаем, что G* > G**.

Таким образом, использование общего ресурса происходит в объеме, превосходящем оптимальный, с точки зрения общества, уровень.