Метод измерения и описание аппаратуры

В данной работе изучаются законы сохранения энергии и импульса при ударе двух шаров. Схема установки приведена на рисунке 1.

Два стальных шара - позиции (1) и (2) на рисунке массами m ₁ и m ₂ подвешены на нитях (3) длиной так, что в состоянии равновесия шары касаются друг друга. Если отклонить правый шар от вертикали (для его фиксации в установке используется электромагнит (4), закреплённый на стойке (5)) и затем отпустить, то в момент прохождения этим шаром положения равновесия произойдет удар. В результате оба шара изменят свои скорости. Нити, на которых подвешены шары, должны иметь одинаковую длину, чтобы удар шара (1) по шару (2) оказался центральным.

Измерение скорости шаров в данной работе осуществляется следующим образом. Оптодатчик состоит из оптопары - светодиода и фотодиода. Луч света от светодиода попадает на фотодиод. При движении шара мимо оптодатчика луч света на некоторое время перекрывается. Интервал времени t, в течение которого свет был закрыт движущимся шаром, измеряется при помощи компьютерной измерительной системы. Для расчета скорости шара достаточно разделить его диаметр D на t. Время пролёта первого шара перед столкновением измеряется датчиком (6), время пролёта второго шара (после столкновения) – датчиком (7).

Пусть u ₁ - скорость налетающего шара (1) в нижней точке траектории; очевидно, что в этот момент времени она направлена по горизонтали. Скорость второго шара до столкновения равна нулю.

Для получения расчётных формул применим закон сохранения импульса в момент удара. При достаточной длине нити движение налетающего шара можно считать прямолинейным, тогда оказывается, что в момент соударения сумма сил, действующих на шары, равна нулю (сила натяжения нити уравновешивается силой тяжести). Система оказывается замкнутой, и, следовательно, для неё можно записать закон сохранения импульса:

p ₁= p ₁ * + p ₂ *, или

m ₁ u ₁= m ₁ u ₁+ m ₂ u ₂,(5)

где p ₁ и u ₁; p ₁ * и u ₁ – импульсы и скорости налетающего шара массой m ₁ до и после удара соответственно, p ₂ *,и u ₂ – импульс и скорость второго шара после соударения. Поскольку при ударе вектора импульсов и скоростей имеют лишь горизонтальные составляющие, индексы векторов мы опустили.

Считая удар шаров абсолютно упругим (в системе действуют лишь консервативные силы), для описания удара применим закон сохранения механической энергии:

. (6)

Если к этому уравнению добавить выражение (5), то полученная система позволит найти скорости шаров после столкновения:

u ₁ = ; (7)

u ₂= . (8)

В случае шаров равной массы (m ₁= m ₂) получаем простые соотношения: u ₁ = 0, u ₂= u ₁, то есть первый шар остановится, зато второй будет двигаться с такой же скоростью, с которой до этого двигался первый. Заметим: если m ₁> m ₂, то u ₁ имеет тот же знак, что и u ₁, то первый шар будет продолжать двигаться в том же направлении, что и до удара; если m ₁< m ₂, то знаки у u ₁ и u ₁ окажутся разными – налетающий шар после удара «отскочит» в противоположную сторону.

Очевидно, что кинетическая энергия системы до столкновения

W _К = ;

кинетическая энергия W _К^* системы после взаимодействия вычисляется по формуле:

.

W _К^* = , или, с учётом выражений (7) и (8),

W _К^* = + . (9)

Экспериментальная часть данной лабораторной работы состоит в проверке на лабораторной установке законов сохранения импульса и энергии. Проверка заключается в проведении измерений, результаты которых обрабатываются и сравниваются количественно с вы­водами, следующими из законов сохранения энергии и импульса.

В исходном положении один из шаров удерживается электромагнитом. При отключении питания электромагнита шар (1) – см. рис. 1 – отпускается и движется по дуге окружности до столкновения с шаром (2). К моменту соударения шар (1) приоб­ретает скорость u ₁, которую можно определить, измеряя время t ₁ его пролёта мимо сквозь оптопару датчика (6).

При выполнении работы Вам необходимо сначала изучить столкновение стальных шаров одинаковой массы (m ₁ = m ₂), а затем стальных шаров разной массы (масса m ₁ налетающего шара больше массы m ₃ первоначально покоящегося шара). В последнем случае второй оптодатчик (7) будет последовательно регистрировать сначала пролет малого шара, а затем большого.

Измерения нужно провести по пять раз с каждой парой шаров и результаты внести в таблицы 1 и 2. После проведения измерений вычисляется скорости шариков после соударения и сравнивается кинетическая энергия системы до удара и непосредственно после него.

Порядок выполнения работы

1. Соберите установку как показано на рис.1. В нижней части вертикальной стойки штатива (5) установите электромагнит (4), а в верхней – муфту с кронштейном так, чтобы резьба длиной 30 мм на кронштейне была свободной (не была ввернута в муфту). На кронштейн подвесьте два больших шара. Кольца, к которым привязаны нити шаров, должны располагаться так, чтобы нити были параллельны, а шары при этом соприкасались. Выровняйте длину нитей и добейтесь того, чтобы центры шаров были на одной высоте. Шары должны висеть так, чтобы при отклонении одного из них другой оставался неподвижным.

Установите один из оптодатчиков в непосредственной близости от шаров и, перемещая муфту с кронштейном вверх-вниз, обеспечьте совпадение высоты оптической оси оптодатчика (высоты расположения свето- и фотодиодов) с высотой, на которой находятся центры шаров. После этого отрегулируйте положение электромагнита. Электромагнит должен удерживать один из шаров.

2. Подключите измерительный блок L -микро к разъему последовательного порта компьютера и включите его. Оптодатчики включите впервый и второй каналы блока (рис. 2). К третьему каналу подключи­те девятиштырьковый разъем кабеля, идущего от электромагнита. Два однополюсных разъема этого кабеля соедините с выводами блока питания (9 В).

3. Запустите программу L-рhуs.ехе, выберите пункт меню «СПИСОК ОПЫТОВ» и в появившемся на экране списке выберите лабораторную работу «Соударение шаров».

4. Перед проведением измерений необходимо правильно выбрать положение оптодатчиков. Шары при этом должны неподвижно висеть на нитях. Один из оптодатчиков (он будет регистрировать скорость налетающего шара до удара) устанавливается таким образом, чтобы осуществлять измерения как можно ближе к точке соударения, но при этом так, чтобы шар полностью пролетел мимо него до удара.

Выберите в программе пункт меню «НАСТРОЙКА». На экране в возникшем окне Вы увидите два кружка. Если в кружке есть точка, то луч света соответствующего оптодатчика перекрыт ка­ким-либо объектом. Если точка отсутствует, то оптодатчик открыт.

Установите первый оптодатчик между электромагнитом и ближайшим к нему шаром вплотную к кромке шара. При этом луч света не должен быть перекрыт, что означает, что шар пролетит мимо датчика до начала взаимодействия с другим шаром. Аналогичным образом по­ставьте второй оптодатчик в непосредственной близости от второго шара. Этот шар перекроет луч света сразу, как только начнет движение.

5. Выберите пункт меню «ИЗМЕРЕНИЕ». Это приведет к тому, что на электромагнит будет подано напряжение, а на экране появится сообщение. Подведите к электромагниту шар и после того, как он прилипнет, успокойте колебания второго шара.

6. При нажатии клавиши Enter питание электромагнита отключится, и шар начнет двигаться. Обратите внимание на движение налетающего шара после удара. На экране компьютера возникнут цифры – результат измерения трех интервалов времени. Первый из них t ₁ соответствует движению налетавшего шара мимо первого оптодатчика, второй t ₂ отражает время пролета первоначально покоившегося шара мимо второго оптодатчика. Третий интервал времени – это возврат шара к положению равно­весия, при обработке результатов данного опыта он не используется.

Повторите опыт 5 раз, записывая результаты в таблицу 1.

7. Замените шар (2), который до удара покоится, шаром меньшей массы (подвесив его в соответствующем пазу на стержне), отрегулируйте длину его нити в соответствии с п. 1 и, настроив положения оптодатчиков (см. п. п. 4, 5), осуществите еще 5 запусков установки. Результаты опытов данной серии (времена t ₁¢ и t ₂¢) внесите в таблицу 2. Обратите внимание: в этих опытах налетающий шар после столкновения продолжает движение: третий интервал времени t ₃, появляющийся на экране компьютера, соответствует времени его пролета мимо оптодатчика (7).

8. Измерьте диаметры D ₁, D ₂ и D ₃ шаров с помощью штангенциркуля, результаты измерений занесите в таблицу 3. Зная диаметры шаров и времена их пролёта мимо оптодатчика, по формуле (10) рассчитайте скорости движения шаров u ₁, u ₂ до и после столкновения (случай одинаковых шаров), а также - u ₁ ¢, u ₁ ¢, u ₂ ¢ (шары разные).

u = , (10)

Округление значений скоростей следует выполнять после расчёта ошибок измерений – см. далее п.п. 10 и 11.

В таблицу 3 занесите значения ошибок измерения диаметров шаров (приборная ошибка штангенциркуля) и их масс (значения самих масс в таблице уже приведены).

9. Вычислите средние значения скоростей u ₁, u ₂, u ₁ ¢, u ₁ ¢, u ₂ ¢ шаров до и после соударения; результаты запишите в таблицы 1 и 2. Для случая шаров разной массы по формулам (7) и (8), пользуясь средним значением скорости u ₁ ¢, рассчитайте теоретические значения скоростей u ₁ ¢ _теор, u ₂ ¢ _теор.

Используя средние значения скоростей u ₁, u ₂, u ₁ ¢, u ₁ ¢и u ₂ ¢, рассчитайте кинетическую энергию системы до и после столкновения и вычислите её изменение. Уменьшение кинетической энергии системы после соударения (если оно имеет место) означает, что в действительности удар не был абсо­лютно упругим и часть механической энергии перешла в тепловую.

Таблица 1

№ измерения	t 1, с	t 2, с	u 1, м/c	u 2, м/c	W К, Дж	W К*, Дж	|D W К |, Дж
Средние значения

В таблице 1 приняты следующие обозначения:

W _К –кинетическая энергия первого, налетающего шара до столкновения;

W _К^* – кинетическая энергия второго, отскочившего шара после столкновения;

|D W _К| = | W _К – W _К^* | – модуль изменения кинетической энергии системы в результате удара.

Таблица 2

№ измерения	t 1¢, с	t 2¢, с	t 3, с	u 1¢, м/c	u 1¢, м/c	u 2¢, м/c	W ¢К, Дж	W К**, Дж	|D W ¢|К, Дж
…
Средние значения
Теория

В таблице 2 приняты следующие обозначения:

W ¢ _К –кинетическая энергия первого, налетающего шара до столкновения;

W _К^** – суммарная кинетическая энергия системы после столкновения (W _К^** = W ^*_К1 + W ^*_К2, где W ^*_К1 – энергия первого, большого шара после столкновения, W ^*_К2 – энергия второго, маленького, отскочившего шара после столкновения);

|D W ¢ _К| = | W ¢ _К – W _К^**| – модуль изменения кинетической энергии системы в результате удара.

Таблица 3

Диаметры, м больших шаров	Диаметр D 3, м малого шара	Масса m 1, кг большого шара	Масса m 1, кг малого шара
D 1 =	D 2 =		0,02520	0,00425
D D, м – приборная ошибка измерения диаметров шаров	D m 1, кг - ошибка измерения m 1	D m 1, кг - ошибка измерения m 1

9. Рассчитайте ошибки измерения скоростей шаров в обеих сериях экспериментов. Поскольку измерения скорости – косвенные, и преобладающей является ошибка измерения времени, фиксируемого оптодатчиками, соответствующие ошибки рассчитываются как среднеквадратичные.

Среднеквадратичная ошибка s _f измерения какого-либо параметра f = f (x, y, z … ) в общем виде рассчитывается по формуле

s _f = .

Поскольку в настоящей работе скорости шаров вычисляются через измерения их диаметра и времени пролёта мимо оптодатчика, в каждом случае ошибка рассчитывается по одной и той же формуле: меняются лишь значения ошибок измерения диаметров D D и времён D t ₁, D t ₂, D t ₁ ¢, D t ₂ ¢и D t ₃ соответственно. Обозначив в общем случае ошибку измерения скорости символом s _u, а ошибку измерения времени – символом D t ₃, можно записать:

s _u =

Продифференцировав выражение (10) для расчёта скорости шаров по D и t, а также использовав вычисленные на предыдущем этапе значения t _СР, после стандартных преобразований можно получить необходимую формулу для расчёта :

s _u =

В этой формуле D D – приборная ошибка штангенциркуля для измерения D; D t – случайная ошибка измерения времени оптодатчиком, которая рассчитывается по формуле

D t = a .

Здесь a -коэффициент Стьюдента, значения которого можно найти в таблице, приведённой в Приложении к настоящему сборнику (см. также методические указания [3]). Величину доверительной вероятности при выборе коэффициента Стьюдента по этой таблице примите равной 0,95.

10. Округлите полученные ошибки до первой значащей цифры; до этого же разряда округлите полученные ранее значения средних скоростей шаров (п. 8). Результаты измерений представьте в виде:

	u 1= u 1СР ± s u 1 u 2= u 2СР ± su2 u 1¢= u 1¢СР ± s¢ u 1 u 1¢= u 1¢СР ± s¢u1 u 2¢= u 2¢СР ± s¢u2

.

Контрольные вопросы

1. Какие законы сохранения Вам известны? Приведите формулировки законов сохранения в механике.

2. Сформулируйте и приведите формулу второго закона Ньютона. Покажите, какой вид примет формула, если предположить, что масса тела не меняется в процессе его движения.

3. Покажите, что если шары имеют одинаковую массу, то после соударения с покоящимся шаром налетающий шар остановится, а покоившийся приобретёт ту же скорость, с которой двигался первый шар.

4. Объясните, как рассчитывается доля механической энергии, теряемой шарами при соударении.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3-х т. – М.: Наука, 1987. – Т. 1, 432 с.

2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики. – М.: Высш. шк., 2000.

3. Расчет погрешностей в лабораторных работах физического практикума. Методические указания к вводным занятиям в физическом практикуме/ Н.А. Гринчар, Ф.П. Денисов, Б.А. Курбатов и др.; Под общ. ред. Ф.П. Денисова. - М.: МИИТ, 1995. - 38 с.

4. Методические указания к лабораторным работам по физике. Работы 60-63. Ошибки измерения физических величин. - М.: Изд. МИИТ, 1976. - с. 10 -11.

РАБОТА № 3-П