Изучение вращательного движения на маховике Обербека

Цель работы: Измерение момента инерциитвердых тел, исследование зависимости мо­мента инерции от формы тела.

Приборы и принадлежности: маховик Обербека, набор грузов, штатив универсальный, линейка, штангенциркуль, датчик угловой скорости с муфтой, измерительный блок L- микро.

Введение

В лабораторной работе рассматривается вращательное движение устройства, которое исторически получило название маховика Обербека.

Для описания вращательного движения, как и для описания поступательного движения, используется ряд параметров, определения некоторых из которых приведены в таблице 1

Таблица 1

ПАРАМЕТРЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ПРЯМОЙ	ПАРАМЕТРЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ПЛОСКОЕ ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
D - перемещение (x - координата)	- угол поворота j- величина угла поворота
- скорость;	- угловая скорость;
- ускорение;	- угловое ускорение;
- импульс	- момент импульса отн. точки; L = r×p×sin a
- сила	= - момент силы отн. точки; M = r×F×sin a
M - масса	I = Smi ri2 – момент инерции

Сходным образом записываются и формулы основных законов, поступательного и вращательного движения (см. таблицу 2).

Таблица 2

НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ПРЯМОЙ	НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛОСКОЕ ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
| u |= const - равномерное движение: х = х 0 ±| u | t	w = const - равномерное вращение: j = j ±|w| t
; ; | a | = const - равнопеременное движение: х = х 0 ± | u 0 | t ± u =± | u 0 | ± | а | t	e = const - равнопеременное вращение: j = j ±|w0 | t ± w=±|w0|±|e| t
Второй закон Ньютона (основной закон динамики): - в общем случае; или - при m = const, где - равнодействующая всех сил, действующих на тело	Основной закон динамики вращательного движения: - в общем случае; или - для абсолютно твёрдого тела, где - равнодействующий момент всех сил, действующих на тело

Из приведённых выше формул следует, в частности, что аналогом массы при вращательном движении является момент инерции I; определению I маховика Обербека при различных положениях грузов на спицах и посвящена настоящая работа.

Напомним, что момент инерции тела I относительно некоторой оси являет­ся мерой инертности тела при вращении его вокруг этой оси. Для материальной точки момент инерции равен произведе­нию ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:

I = mr²,

а для тела, которое можно представить в виде системы боль­шого количества материальных точек (рис. 1.а), момент инерции отно­сительно некоторой оси вращения равен сумме произведений масс всех материальных точек на квадраты их расстояний до этой оси:

I = . (1)

Для вычисления момента инерции сплошного тела его мысленно разбивают на бесконечное малые области с массами dm,каждая из которых находится на своём расстоянии r от оси вращения (рис. 1.б); I находят интегрированием по всем этим областям:

I = .

Понятно, что момент инерции зависит не только от общей массы тела, но и от формы тела, а также – от распределения массы по его объёму (так, например, какие-то части тела могут быть изготовлены из более тяжёлого материала, а какие-то – из более лёгкого).

Ось вращения может проходить через центр масс те­ла, а может и находиться вне его (рис. 1.в). Во втором случае для вычисления момента инерции пользуются теоремой Штейнера.

Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I ₀ относительно оси, парал­лельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела т на квадрат расстояния d между осями:

I = I ₀ + md ². (2)

При конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в са­молетостроении, электротехнике и т.д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно вы­полнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.

Маятник Обербека (рис. 2), момент инерции которого предлагается определить в данной лабораторной работе, представляет собой четыре стержня (1), закрепленные в муфте (2). Ось вращения муфты расположена горизонтально. На каждом из стержней имеется груз (3), который с помощью специальных фиксаторов может раз­мещается на любом расстоянии от оси муфты. Та­ким образом, момент инерции конструкции может изменяться в широких пределах. Раскрутка маят­ника Обербека осуществляется с помощью нити (5), предварительно намотанной на цилиндриче­скую поверхность муфты. К нижнему концу нити прикрепляются перегрузки (6) различной массы. Для проведения измерений муфта маятника Обербека надета на ось датчика угловой скорости (4), что позволяет записывать значения скорости враще­ния во время движения.

При выполнении лабораторной работы Вам необходимо измерить момент инерции маятника Обербека в двух случаях: в отсутствие грузов на стержнях и при мак­симальном удалении грузов от оси вращения. В каждом случае раскрутка маятника проводится одним из двух перегрузков (6) – по выбору преподавателя.

Рассмотрим движение маятника Обербека, используя законы динамики. Перегрузок (6) мас­сой т _П на нити (5) дви­жется поступательно с ускорением a под действием силы тяжести m _П g и силы натяжения нити T. Можно записать уравнение второго закона Ньютона для этого груза:

m _П g - T = m _П a. (3)

Отсюда находим силу натяжения нити: Т = т _П(g - а) и вычисляем момент M этой силы относительно оси вращения:

M = Tr = т _П(g - а) r, (4)

где r – радиус цилиндрической поверхности-муфты, на которую намотана нить).

Теперь используем основной закон динамики вращательного движения для анализа движения маятникаОбербека. Пренебрегая моментом силы сопротивления движению грузовсо стороны воздуха и моментом силы трения в подшипниках датчика угловой скоро­сти, запишем:

т _П(g - а) r = I· e, (5)

где e - угловое ускорение вращающегося маятника, причём а = e r.

Эта формула может быть использована для определения момента инерции I ₁ крестовины с грузами:

I ₁= m _П(g - e₁ r) r/ e₁ (6)

и без грузов:

I ₂= m _П(g - e₂ r) r/ e₂. (7)

Момент инерции крестовины с грузами может быть также представлен в виде:

I ₁= I ₂ + I _г, (8)

где I _г – момент инерции четырёх грузов.

Таким образом, появляется возможность экспериментального определения момента инерции грузов на крестовине:

I _г = I ₁- I ₂ = m _П(g - e₁ r) r/ e₁- m _П(g - e₂ r) r/ e₂. (9)

Результаты вычислений по формуле (9) предлагается сравнить с теоретическим значением момента инерции грузов I _г*, рассчитываемым в предположении, что размерами грузов много меньше расстояния от их центра до оси вращения крестовины:

I _г* = m ₁ R ₁²+ m ₂ R ₂² + m ₃ R ₃ ² + m ₄ R ₄², (10)

в которой m ₁, m ₂ , m ₃ и m ₄ – массы каждого из четырёх грузов, а R ₁, R ₂ , R ₃ и R ₄ – расстояния от центров этих грузов до оси вращения.

Порядок выполнения работы

1. Соберите установку как показано на рис. 2. Штатив собирается с длинной вертикаль­ной стойкой, на которой закрепляется датчик числа оборотов (4) с муфтой (2).Ось вра­щения датчика должна быть горизонтальной. В отверстия муфты необходимо ввернуть четыре одинаковых стержня (1),на которых размещаются подвижные грузы (3), на которых указана их масса. Штангенциркулем три раза измерьте радиус маховика r; полученные результаты и их среднее значение r _СР запишите в таблицу 3. Туда же запишите значение массы используемого пeрегрузка (вместе с подставкой).

Запишите значения масс грузов m _i в таблицу 3. Установите грузы на стержнях в непосредственной близости от концов стержней. Измерьте удаление R _i каждого из грузов от оси вращения и внесите полученные значения в ту же таблицу.

Закрепите один конец нити длиной 25 - 30 см на катушке муфты датчика угловой скоро­сти и прикрепите к другому ее концу один из перегрузков (6). Перед запуском маятника Вам будет не­обходимо намотать нить на катушку муфты и таким образом поднять перегрузок над поверхностью стола.