Уравнение Лейбензона

Лейбензон Л.С. получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа.

Для получения требуемого уравнения используем изотермическое приближение и, следовательно, используем уравнение состояния в виде

. (4.35)

Потенциальная функция, как уже отмечалось ранее, имеет вид

. (4.36)

Обозначив р²=Р и проделав преобразования общего уравнения нестационарной фильтрации, получим уравнение Лейбензона:

. (4.37)

По внешнему виду уравнение (4.37) не отличается от уравнения пьезопроводности (4.11), но множитель перед лапласианом переменен. В связи с этим уравнение (4.37) нелинейно в отличие от линейного уравнения пьезопроводности упругой жидкости и аналитически решается приближенно.

Для получения приближенного решения используется метод линеаризации, а именно, переменное давление р заменяется на некоторое постоянное: Лейбензон предложил замену на р_к (начальное давление в пласте); Чарный – на р_ср=р_min+0,7(p_max-p_min), где p_max и p_min – максимальное и минимальное давление в пласте за расчетный период.

При указанных допущениях решение будет иметь такой же вид, что и в случае упругой жидкости, но при этом в данных решениях давлению р будет соответствовать Р=р², æ – æ^/ = , – .

Таким образом, изменение давления при нестационарной фильтрации газа описывается соотношением

. (4.38)

При малых значениях r²/(4 æ^/ t) можно заменить интегрально-показательную функцию логарифмической

. (4.39)

a b

Рис. 4.9. Пьезометрические кривые при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени

(а) и изменение давления с течением времени в фиксированных точках пласта (b)

Формулы (4.38),(4.39) определяют при фиксированных значениях времени распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t =0. Депрессионные кривые идентичны кривым при установившейся фильтрации – имеют максимальную кривизну вблизи скважины (рис.4.9а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени (рис.4.9b). В частности, можно найти давление на забое (при r=r_c) после начала работы скважины.

Уравнение (4.39) используется для расчета коллекторских параметров газовых пластов методом обработки кривой восстановления давления. Принцип расчета такой же, что и в случае нефтяных скважин, но для получения линейной зависимости по оси ординат надо откладывать не депрессию, а разность квадратов пластового и забойного давлений.