Системи диференціальних рівнянь першого порядку

Система рівнянь першого порядку з невідомими функціями має вигляд:

(7.38)

де - незалежна змінна, y₁,y_{2 ,} …, y_n - невідомі функції.

Якщо в лівій частині рівнянь системи стоять похідні першого порядку, а праві частини рівнянь зовсім не містять похідних, то така система рівнянь називається нормальною.

Розв’язком системи називається сукупність функцій y₁,y_{2 ,} …, y_n, які перетворюють кожне рівняння системи в тотожність відносно x.

Задача Коші для системи (7.38) полягає у знаходженні функцій y₁,y_{2 ,} …, y_n що задовольняють систему (7.38) і заданим початковим умовам:

. (7.39)

Інтегрування системи (7.38) роблять таким чином. Диференціюємо по x перше рівняння системи (7.38):

Замінимо похідні їх виразами із рівнянь системи (7.38), одержимо рівняння

.

Диференціюємо одержане рівняння і, підставивши в цю рівність значення похідних із системи (7.38), знайдемо

.

Продовжуючи далі таким чином, одержимо

.

В результаті дістаємо таку систему рівнянь:

(7.40)