Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами

де - сталі числа, , називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку з сталими коефіцієнтами.

За теоремою про структуру розв’язку лінійного неоднорідного

рівняння другого порядку загальний розв’язок рівняння (7.34) є сумою загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і будь-якого частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Це твердження записано формулою (7.28): .

Загальний розв’язок однорідного рівняння ми детально розглянули вище. Тепер перейдемо до знаходження частинного розв’язку неоднорідних рівнянь із спеціальною правою частиною, розв’язок яких можна знайти не вдаючись до інтегрування.

1) Нехай права частина рівняння (7.34) має вигляд , де - многочлен n -го степеня. Тут можливі два випадки:

а) - не є коренем характеристичного рівняння, тоді , де - многочлен n -го степеня із неозначеними коефіцієнтами.

б) - є коренем характеристичного рівняння кратності ( або ), тоді .

Зауваження. Якщо , то вважаємо, що і перевіряємо, чи 0 є коренем характеристичного рівняння.

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння

. (7.35)

Розв’язування. Загальний розв’язок шукаємо у вигляді .

Спочатку знайдемо загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння:

, .

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді правої частини рівняння, а саме , оскільки не є коренем характеристичного рівняння. Тут потрібно знайти неозначені коефіцієнти та . Для цього знайдемо та , маємо:

Підставляємо , та у рівняння (7.35), одержимо Розділимо ліву і праву частини рівняння на , маємо:

.

Відомо, що многочлени рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні їх коефіцієнти при однакових степенях лівої і правої частини, тобто

, звідки

Отже, і загальний розв’язок буде .

Приклад 2. Знайти розв’язок диференціального рівняння

, (7.36)

який задовольняє початковим умовам .

Розв’язування. Тут характеристичне рівняння має дійсні, рівні корені , тому загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння буде

Права частина рівняння (7.36) має вигляд причому не є коренем характеристичного рівняння, тому частинний розв’язок рівняння будемо шукати у вигляді Продиференціювавши , підставимо у рівняння (7.36), маємо:

звідки

Частинним розв’язком заданого рівняння є функція а його загальним розв’язком функція

.

Знайдемо тепер частинний розв’язок рівняння (7.36), який задовольняє заданим початковим умовам. Для цього знайдемо

, тоді

Звідки , .

Шуканим частинним розв’язком буде

Приклад 3. Розв’язати диференціальне рівняння:

.

Розв’язування. Знайдемо загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння: ,

.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді , бо є коренем характеристичного рівняння. Виконавши необхідні обчислення, знайдемо

Тоді .

Отже, загальний розв’язок заданого рівняння буде

2) Нехай права частина рівняння (7.34) має вигляд

.

Перевіряємо чи α + β і є коренем характеристичного рівняння:

а) α + β і не є коренем характеристичного рівняння, тоді ,

де L_k(x), N_k(x), - многочлени k -го степеня з неозначеними коефіцієнтами (k=max(m,n)).

б) α + β і є коренем характеристичного рівняння, тоді .

Зауваження 1. Якщо α=0, то перевіряємо, чи β є коренем характеристичного рівняння.

Зауваження 2. Якщо в правій частині є одна із тригонометричних функцій, наприклад, cosx, то в частинний розв’язок повинна входити і функція sinx.

Приклад4. Розв’язати диференціальне рівняння:

. (7.37)

Розв’язування. Складаємо характеристичне рівняння і

розв’язуємо його: ; , .

Загальний розв’язок однорідного рівняння . Права частина неоднорідного рівняння f(x)=e^xcosx, тобто має вигляд

,

де .

Оскільки α + β і=1+і не є коренем характеристичного рівняння, а многочлени нульового степеня, то .

Знайдемо та :

Підставляємо та у рівняння (7.37):

Скорочуючи обидві частини рівності на і зводячи подібні члени, одержимо:

Зрівнюючи коефіцієнти при та в обох частинах рівняння, одержимо:

Звідки .

.

Загальний розв’язок рівняння (7.37) буде:

.

Приклад 5. Розв’язати рівняння

Розв’язування. .