Определение через аксиомы

В современной математике и в математической логике широ­ко применяется так называемый аксиоматический метод. Приве­дем пример⁶. Пусть дана система каких-то элементов (обознача­емых х, у, z.,.), и между ними установлено отношение, выража­емое термином «предшествует». Не определяя ни самих объек­тов, ни отношения «предшествует», мы высказываем для них следующие утверждения (т. е. следующие две аксиомы):

1. Никакой объект не предшествует сам себе.

2. Если х предшествует у, а у предшествует z, то х предше­ствует z.

Так с помощью двух аксиом определены системы объектов вида «x предшествует у». Например, пусть объектами х, у... являются люди, а отношение между х и у представляет собой «х старше у». Тогда выполняются утверждения 1 и 2. Если объекты х, у, z — действительные числа, а отношение < x предшествует у» представляет собой < x меньше у», то утверждения 1 и 2 также выполняются. Утверждения (т. е. аксиомы) 1 и 2 определяют системы объектов с одним отношением.