Кинематические связи

Студент: – Изобразим промежуточное положение стержня, как показано на рис.3.4.2. Пусть ордината второго груза

у = Lsin α,

тогда по закону сохранения энергии

mg(L–y)=mV²₁/2+ mV²₂/2.

С кинематической связью я затрудняюсь.

Автор: – Поскольку расстояние между грузами остается постоянным, то в каждый момент скорость, с которой первый груз удаляется от второго, равна скорости, с которой второй груз приближается к первому. Иначе говоря, проекции скоростей грузов на ось стержня в любой момент времени одинаковы:

V ₁ cos α= V ₂ sin α.

Используя предыдущее равенство, находим скорости

◄ , ►.

Как Вы думаете, можно ли считать данные значения для скоростей окончательным ответом?

Студент: – Конечно, не вижу никаких ограничений.

Автор: – В этой задаче содержится поучительная тонкость. Этот ответ был бы безупречным, если бы второй груз не имел возможности оторваться от стенки, например, находясь на шарнирном закреплении.

Действительно, т. к. сила реакции стенки всегда действует вправо, то скорость центра масс стержня не может уменьшаться. В задаче нет сил, направленных влево (стенка не может «притянуть» шарик). Получается, что стержень рано или поздно оторвется от стенки. Вопрос когда? Успеет ли второй шарик достичь при этом горизонтальной плоскости?

Исследуйте зависимость V₁ от безразмерного параметра х.

В тот момент, когда реакция стенки обратится в ноль, центр масс не будет иметь составляющей ускорения (а ₀)_х вдоль оси абсцисс. Значит, и ускорение шарика 1 (а ₁)_х тоже будет равно нулю: они связаны линейно (а ₁)_х=2(а ₀)_х. Используя дифференцирование, найдите критический угол, при котором верхний шарик отойдет от стенки.

Студент: Обозначим х = sin α. Тогда выражение для скорости первого шарика примет вид:

.

Заметим, что за время падения стержня x (t) – монотонно убывающая функция.

.

Но выражение dx / dt ≠0, значит, отрыв произойдет при условии

,

х = sin α_кр=2/3.

Автор: – В итоге мы получили зависимости V ₁(α) и V ₂(α) при условии, что

α≥ α_кр.

Дополнительный вопрос: можно ли поставить стержень под некоторым углом φ к горизонту, чтобы при движении стержня шарик 2 все же не оторвался от стены?

Студент: – Будем рассуждать аналогично. Рассмотрим промежуточное положение стержня, когда он наклонен под углом α к горизонту.

Уравнение кинематической связи не потеряет своей «силы». А закон сохранения энергии примет вид:

mg(Lsin φ – Lsin α)=mV²₁/2+ mV²₂/2.

Отсюда находим

V₁²=2Lgsin² α(sin φ– sin α).

Применим любимый нами безразмерный параметр х = sin α. Кроме того, удобно дифференцировать функцию V ₁² (х), т. к. в условиях нашей задачи она возрастает или убывает вместе с функцией V ₁(х), а вид у нее проще.

f (x)= V ₁² (х)= 2 L g x ²(sin φ – x),

df/dx =2 L g(2 x sin φ –3 x ² )= 0, х =(2/3) sin φ,

sin α_кр = (2/3) sin φ.

Автор: – Видим, что «судьба» шарика 2 предопределена. В любом случае он отойдет от стены.

Вместо истории. Лекция. «В английском языке, – говорит профессор, – двойное отрицание дает утверждение. В других языках, например в русском, двойное отрицание все равно обозначает отрицание. Но нет ни одного языка, в котором бы двойное утверждение обозначало отрицание». Голос с задней парты: «Ага, конечно».

Насмотревшись телеигру «Кто хочет стать миллионером», Министерство образования и науки утвердило следующую процедуру приема экзаменов в вузах России. Экзаменатор задает студенту 15 вопросов и 4 варианта ответов. Через каждые 3 вопроса оценка повышается на балл – от 0 до 5. Имеется три стандартные подсказки: 50×50, помощь зала и звонок другу, а также две несгораемые оценки «1» и «2». Студент в любой момент может прекратить отвечать на вопросы и получить ту оценку, на которой он остановился.

Список литературы

1. Тарасов, Л. В. Вопросы и задачи по физике (Анализ характерных ошибок поступающих в вузы): Учеб. пособие / Л. В. Тарасов, А. Н. Тарасова. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1984. – 256 с., ил.

2. Бутиков, Е. И. Физика: Учеб. пособие: В 3 кн. Кн.1. Механика / Е. И. Бутиков, А. С. Кондратьев. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. – 352 с.

3. Физика: Механика. 10 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики / М. М. Балашов, А. И. Гомонова, А. Б. Долицкий и др.; Под ред. Г. Я. Мякишева. – 4-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001. – 496 с.: ил.

4. Задачи по физике: Учебное пособие. Под ред. О. Я. Савченко. 4-е изд., исправленное. – СПб.: Лань, 2001. – 368 с., ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература).

5. Энциклопедия для детей. Том 16. Физика. Ч.1. Биография физики. Путешествие в глубь материи. Механистическая картина мира / Глав. ред. В. А. Володин. – М.: Аванта⁺, 2001. – 448 с.: ил.

6. Джанколи, Д. Физика: В 2-х т. Т.1: Пер. с англ. / Д. Джанколи. – М.: Мир, 1989. – 656 с., ил.

7. Суорц, Кл. Э. Необыкновенная физика обыкновенных явлений: Пер. с англ. В 2-х т. Т. 1. / К. Э. Суорц. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 400 с., ил.

Оглавление