В настоящей работе моменты инерции твердых тел определяется с помощью крутильных колебаний на установке, представленной на рис. 2.3.
Рис. 2.3
Рамка 1 закреплена на натянутой стальной проволоке, проходящей по ее геометрической оси. Если рамку повернуть на некоторый угол φ, то происходит закручивание проволоки. Тогда силы упругости стремятся вернуть рамку в исходное положение. Момент М возвращающей силы при относительно малом угле поворота φ связан с ним соотношением
, (2.5)
где D – коэффициент, называемый модулем кручения проволоки.
Величина D зависит от длины проволоки, ее диаметра и модуля сдвига, характеризующего упругие свойства материала проволоки.
Согласно основного закона динамики вращательного движения, момент силы М, угловое ускорение ε и момент инерции J тела связаны соотношением
. (2.6)
Из (2.5) и (2.6) получаем дифференциальное уравнение, описывающее движение рамки
или
, (2.7)
где .
Решением уравнения (2.7) является гармоническое колебание
|
|
с периодом
. (2.8)
Момент инерции J можно найти на основе соотношения (2.8), если узнать величину D. В данной работе определение модуля кручения D не требуется. Измеряется период колебания Т пустой рамки с моментом инерции J, Затем определяется период Т 1 колебаний системы, состоящий из рамки с установленными на нее грузами 2 с известным моментом инерции J 0. Тогда, согласно формуле (2.8), имеем
. (2.9)
Исключая из (2.8) и (2.9) величину D, получаем формулу для расчета момента инерции J исследуемого тела
. (2.10)