Центральный удар двух шаров

Рассмотрим два шара, подвешенных рядом так, что их центры находятся на одном уровне. Отведем один из шаров на некоторый угол α и отпустим без начальной скорости. Отклоненный шар будет двигаться вниз, разгоняясь, при этом его потенциальная энергия будет переходить в кинетическую. По закону сохранения механической энергии (рис. 2.1)

, (2.1)

где m ₁ – масса шара, g – ускорение свободного падения, h – высота шара в отведенном положении относительно нижней точки траектории, υ ₁ – скорость первого шара в нижней точке перед соударением со вторым.

Из рисунка видно, что

, (2.2)

где l – расстояние от точки подвеса до центра тяжести шара, α – угол начального отклонения нити.

Подставляя (2.2) в (2.1) и преобразуя уравнение, найдем выражение для скорости через угол начального отклонения

. (2.3)

Если подобрать массы шаров так, чтобы после удара они разлетались в разные стороны на углы α₁ и α₂ соответственно, то скорости и (рис. 2.2) шаров после удара

, (2.4)

Если удар происходит достаточно быстро так, что нити во время удара не успевают отклониться на заметный угол, то в направлении горизонтальной оси х не возникает внешних сил и выполняется закон

сохранения импульса в проекции на эту ось

. (2.5)

Коэффициент восстановления скорости К_С определяется как отношение относительной скорости шаров после удара к относительной скорости шаров до удара

. (2.6)

Для случая, показанного на рис.2.1 и рис.2.2 формулу (2.6) с учетом (2.3) и (2.4) преобразуем к виду

. (2.7)

Для абсолютно упругого удара К_С = 1. В случае столкновения реальных шаров столкновение не является абсолютно упругим и К_С < 1.

Кроме коэффициента восстановления скорости соударения тел характеризуют коэффициентом восстановления энергии К_Э, равным отношению кинетической энергии тел после удара к их кинетической энергии до удара

. (2.8)

Учитывая, что скорость второго шара до удара υ ₂ = 0 и подставляя для скоростей выражения (2.3) и (2.4), находим рабочую формулу для коэффициента восстановления энергии

. (2.9)

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна скорости изменения импульса этого тела

. (2.10)

Если известна длительность удара τ, то используя (2.10) по изменению импульса одного из шаров (например, покоящегося до удара) можно определить среднюю силу взаимодействия между шарами