Теоретическая часть

1 2 3

Лабораторная работа № 9

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ ФИЗИЧЕСКОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МАЯТНИКОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1.Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника.

2.Определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Математическим маятником называют систему, состоящую из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, способную совершать колебания в поле силы тяжести.

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг некоторой оси, не проходящей через его центр инерции. В положении равновесия центр инерции маятника

O^/

l _пр

Рис. 1. Физический маятник

(точка С) находится с точкой подвеса маятника О на одной вертикали (рис.1). При отклонении маятника от положения равновесия на угол

возникает вращательный момент силы тяжести

относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О, равный:

где ^__ радиус вектор, проведенный из точки О до точки приложения силы тяжести, т.е. до центра инерции тела (точка С).

Модуль момента силы тяжести равен: М=l mg , где l – расстояние от точки подвеса до точки приложения силы тяжести, т.е. до центра инерции тела.

Рис.2. Математический маятник

Воспользуемся уравнением динамики вращательного движения тела:

(1)

где I ^__ момент инерции тела относительно оси вращения,

^__ угловое ускорение.

Угловое ускорение есть:

Уравнение (1) в проекции на ось Z можно расписать в виде:

I =-mgl sin (2)

Знак минус означает, что направление вектора момента силы тяжести противоположно направлению вектора углового ускорения (рис. 2).

Уравнение (2) приведем к виду:

+ sin =0(3)

Введем обозначение

При малых углах отклонения sin . (Маятник совершает гармонические колебания, если угол отклонения не превышает примерно 8^о).Придем к следующему дифференциальному уравнению:

+ =0

Решение которого имеет вид:

=а cos( + ).

Величина а, равная максимальному углу отклонения маятника от положения равновесия, называется амплитудой гармонических колебаний. Величина ^__ начальная фаза, ^__ циклическая частота.

Период колебания физического маятника равен:

Т = =2

Для математического маятника момент инерции которого равен:

I=ml ²,

выражение для периода колебаний математического маятника будет следующим:

Т =2 (4)

Из сопоставления последних двух формул получается, что математический маятник с длиной

l _пр =

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Эту величину называют приведенной длиной физического маятника.

Точка на прямой, соединяющая точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (точка О ^/ на рис. 1)). При переносе точки подвеса в центр качания период колебания маятника будет прежним. Точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания, и период колебаний физического маятника не изменится.

На этом свойстве взаимности основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника. Он представляет собой маятник (рис 3.), у которого имеются две параллельные друг другу закрепленные вблизи его концов опорные призмы О ₁и О ₂, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на нем грузы в виде дисков. Перемещением грузов добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков.

Рассмотрим произвольный случай, когда упорные призмы находятся в произвольном положении по обеим сторонам от центра тяжести.

Рис. 3. Оборотный маятник

Как видно из рис. 3, периоды колебаний маятника по отношению к каждой оси качания будут соответственно равны:

Т ₁=2 Т ₂=2 , (5)

где I ₁, I ₂– моменты инерции оборотного маятника относительно осей качания О ₁и О ₂,

а ₁ и а ₂– расстояние от центра тяжести маятника до соответствующих осей.

По теореме Штейнера момент инерции I тела относительно произвольной оси равен моменту инерции I ₀относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния от оси качания до центра инерции. Используя эту теорему, получим:

I ₁= I ₀+ m и I ₂= I ₀+ m . (6)