Задача 5

На балку действуют нормативная равномерно распределённая нагрузка q_n с коэффициентами надёжности γf₁ = 1,4 и нагрузка F_n c коэффициентом γf₂ = 1,2 (рис.28)

1) Определить расчётное значение нагрузок, если q_n = 6 ; F_n = 60 кН

2) Построить от них эпюры Q и М.

3) Подобрать сечение прокатного двутавра из условия прочности, если R = 240 МПа. Условия работы нормальные.

4) Проверить прочность подобранного сечения на сдвиг, если R_S = 140 МПа.

5) Вычислить наибольший прогиб балки ¦_max и проверить её жёсткость в случае, если = , а Е_стали = 2,06 ^. 10⁵ МПа.

рис. 28

Решение:

1) Определяем расчётные значения нагрузок.

q = q_n ^. γf₁ = 6 ^. 1,4 = 8,4

F = F_n ^. γf₂ = 60 ^. 1,2 = 72 кН

2) Определяем опорные реакции. Так как опоры в равных условиях то опорные реакции равны

V_A = V_Д = = = 99,72 кН

3) Строим эпюру Q (рис. 28б).

Q_A^пр = V_A = 99,72 кН

Q_B^лев = V_A – q ^. 2,2 = 99,72 – 8,4^. 2,2 = 81,24 кН

Q_B^пр = V^A – q ^. 2,2 – F = 99,72 – 8,4 ^. 2,2 – 72 = 9,24 кН;

Q_C^лев = V_A – F – q ^. 4,4 = 99,72 – 72 – 8,4 ^. 4,4 = -9,24 кН;

Q_C^пр = V_A – 2 ^. F – q ^. 4,4 = 99,72 – 2 ^. 72 – 8,4 ^. 4,4 = -81,24 кН;

Q_Д^лев = -V_Д = -99,72 Кн.

Сечение, в котором Q=0, находится в середине пролёта, т.е. Z = = 3,3 м

4) Строим эпюру “М” (рис.28в).

М_А = 0;

M_B = M_C = V_A ^. 2,2 – q ^. 2,2 ^. 1,1 = 199 кНм.

Для построения параболы необходимо промежуточное значение момента при Z = 3,3 м

М_К = V_A ^. 3,3 – F ^. 1,1 – q ^. 3,3 ^. = 204 кНм;

М_Д = 0.

Эпюра “M” имеет криволинейное очертание, выпуклостью вниз.

5) Подбираем сечение двутавра.

Максимальный изгибающий момент.

М_max = 204 кНм = 204 ^. 10^-3 МН;

R = 240 Мпа = 240 .

Требуемый момент сопротивления.

W_X ³ ³ = 850 ^. 10^-6 м³ = 850 см³.

По сортаменту (ГОСТ 8239 – 89) выбираем двутавр № 40 с W_X^табл = 953 см³ > 850 см³.

Так как подобранное сечение требуется проверить на сдвиг, выписываем из той же таблицы данные, необходимые для подсчёта наибольших касательных напряжений: S_X^табл = 545 см³; J_X^табл = 19062 см⁴; d = 0,83 см.

Расчёт производится по максимальной поперечной силе Q_max = 99,72 кН.

Условие прочности на сдвиг.

τ = ≤ R_S;

Q_max = 99,72 кН = 99,72 ^. 10^-3 МН;

S_X^табл = 545 см³ = 545 ^. 10^-6 м³;

J_X^табл = 19062 см⁴ = 19062 ^. 10^-8 м⁴;

s = 0,83 см = 0,83 ^. 10^-2 м.

τ_max = = 34 Мпа < R_S = 140 МПа.

Стенка имеет значительный запас прочности на сдвиг.

6) Определяем наибольший прогиб балки, пользуясь табличными данными (приложение табл. 3).

Расчёт ведём по нормативной нагрузке.

ƒ_max = ƒ_к = ƒ_2F + ƒ_q = + ^. ;

ƒ_max = + ^. ;

где Е = 2,06 ^. 10⁵ МПа = 2,06 ^. 10⁸ кПа.

Получаем ƒ_max = 0,019 м.

7) Проверяем жёсткость балки.

Условие жёсткости.

0,0029 < 0,0050 - балка жёсткая!