Уравнения эвольвенты

Эвольвентой (от лат. evolvens (evolventis) – разворачивающий) или развёрткой окружности называют плоскую кривую А₀Y (рис. 54), которая описывается любой точкой Y прямой n-n, перекатываемой без скольжения по окружности. Линию n-n называют производящей прямой, а окружность радиуса r_b, по которой она перекатывается, – эволютой (от лат. evoluta – развёртка) или основной окружностью.

Основные свойства эвольвенты:

– образующая прямая n – n всегда нормальна к эвольвенте (основное и важнейшее свойство эвольвенты);

– эвольвента начинается на основной окружности и всегда расположена вне окружности;

– форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности;

– эвольвента является кривой без перегибов.

Уравнение эвольвенты. Положение какой-либо точки Y эвольвенты определяется радиус-вектором r_y иуглом θ_y, называемым эвольвентным. Из свойства эвольвенты следует, что

NY=˘NmA₀. (71)

Из рис. 54 видно, что

NY=r_btgα_Y, (72)

где α – угол профиля (угол между радиус-вектором r_y и касательной к эвольвенте в точке А);

˘NmA₀ = r_b∙ν_Y, (73)

где ν – угол развёрнутости (ν_y=α_y+θ_y).

Подставляя (72) и (73) в (71), получаем

r_btgα_y= r_b∙ν_y= r_b(α_y+θ_y)

или

tgα_y = (α_y+θ_y). (74 )

Из (8.6) находим

Θ_y = tgα_y–α_y. (75)

Выражение tgα_Y–α_Y сокращённо обозначается знаком invα_Y и читается как инволюта α_Y (от лат. involuta – развёрнута – то же самое, что и эвольвента): tgα_Y–α_Y = invα_Y.

Для инвалютных функций составлены таблицы, по которым по значению угла α_Y можно определить значение величины invα_Y. Таким образом, угол θ_Y будет равен

Θ_y = invα_y (76)

Из треугольника NYO радиус-вектор r_Y

(77)