Тензор инерции

При описании вращательного движения твердого тела часто появляется необходимость знать его движение около точки закрепления. Важнейшим понятием при этом является тензор инерции. Для упрощения расчетов воспользуемся представлением о теле как совокупности материальных точек с массами .

Закрепим тело в точке . Радиус-вектор точки с массой относительно обозначим (см. рис. 1). Пусть - мгновенная угловая скорость тела. Тогда скорость - й точки тела . Поэтому момент импульса всего тела относительно точки равен:

где использована формула разложения двойного векторного произведения .

Векторное равенство (1) можно написать в виде трех проекций на оси координат:

. (2)

Учитывая, что , вместо (2) имеем

. (3)

где:

. (3а)

аналогично выражаются другие величины и т.д. Поэтому из 9 величин , различны лишь 6. Величины называются осевыми моментами инерции, а называются центробежными моментами инерции. Таким образом, момент импульса тела весьма сложно зависит от распределения масс в теле, и его направление не всегда совпадает, с угловой скоростью вращения тела. Совокупность величин

. (4)

называется тензором инерции. Величины являются диагональными элементами тензора, а остальные – недиагональными. Если величины, расположенные симметрично относительно диагонали, равны, то такой тензор называется симметричным.