Равнодействующая сила

Если на твердое тело действует много сил, то движение тела зависит только от суммы всех этих сил и от суммы их моментов. Это обстоятельство позволяет иногда заменить совокупность всех действующих на тело сил одной силой, которую называют в таком случае равнодействующей. Очевидно, что по величине и направлению равнодействующая сила равна сумме всех сил, а ее точка приложения должна быть выбрана таким образом, чтобы ее момент был равен суммарному моменту всех сил.

Наиболее важный случай такого рода — сложение параллельных сил. Сюда относится, в частности, сложение сил тяжести, действующих на отдельные части твердого тела.

Рассмотрим какое-либо тело и определим полный момент сил тяжести относительно произвольно выбранной горизонтальной оси (ось Z на рис. 5). Сила тяжести, действующая на элемент m_i тела, равна m_ig, а ее плечо есть координата x_i этого элемента. Поэтому суммарный момент всех сил равен

(23)

Равнодействующая сила по величине равна полному весу тела и если обозначить координату ее точки приложения через X, то тот же момент N_z запишется в виде (24)

Приравняв оба выражения, найдем (25)

Но это есть не что иное, как х-координата центра инерции тела.

Таким образом, мы видим, что всю совокупность действующих на тело сил тяжести можно заменить одной силой, равной полному весу тела и приложенной к его центру инерции. В связи с этим центр инерции тела часто называют также его центром тяжести.

Сведение системы параллельных сил к одной равнодействующей силе, однако, невозможно, если сумма сил равна нулю. Действие такой совокупности сил может быть сведено к действию, как говорят, пары сил: двух сил, равных по величине и противоположных по направлению. Легко сообразить, что сумма N_z моментов таких двух сил относительно любой оси Z, перпендикулярной плоскости их действия, одинакова и равна произведению величины F на расстояние h между направлениями действия обеих сил (плечо пары): N_z=Fh.

Действие пары сил, оказываемое ею на движение тела, зависит только от этого, как говорят, момента пары.

Методика проведения эксперимента и описание установки

Задачи работы: экспериментальное исследование закономерностей гироскопического эффекта, опытное определение полного момента инерции гироскопа.

Приборы и принадлежности: гироскоп ФМ-18, электронный блок, штангенциркуль.

Гироскопом называет массивное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг неподвижной оси симметрии. В экспериментальной установке, показанной на рис. 6, гироскопом служит металлический диск 1 с горизонтально расположенной осью 2, который приводится во вращение электродвигателем 3. Ось гироскопа опирается на шарнир 4, закреплённый на подставке 5. Горизонтальное положение оси обеспечивается противовесом 6. Смещая противовес вдоль градуированной шкалы 7, можно создавать дополнительный момент силы тяжести, действующий на гироскоп при его вращении.

Установка работает от блока управления. Левое табло показывает частоту вращения маховика гироскопа – после включения индуцирует начальную частоту. Правое табло индуцирует время поворота гироскопа вокруг вертикальной оси на 90⁰.

Установка позволяет наблюдать так называемый гироскопический эффект, заключающийся в том, что попытка повернуть ось гироскопа в определённой плоскости Х приводит на самой деле к повороту в плоскости, перпендикулярной плоскости Х. Допустим, что в первоначальном положения противовес 6 уравновешивает гироскоп так, что полный момент сил, действующих на гироскоп, . В этих условиях согласно закону сохранения момента импульса должно выполняться равенство и ось гироскопа остаётся горизонтальной и неподвижной.

Попытаемся теперь повернуть ось гироскопа в вертикальной плоскости по часовой стрелке. Для этого сдвинем противовес от положения равновесия на некоторое расстояние (см. рис. 7). При этом на гироскоп будет действовать момент силы тяжести N, направленный вдоль оси Oу и по величине равный (26)

Согласно уравнению динамики вращательного движения твердого тела

(27)

Поэтому момент силы вызовет за время изменение момента импульса , равное (28)

Важно отметить, что вектор направлен, как вектор , по оси Oy, т.е. перпендикулярно первоначальному направлению вектора . В результате вектор момента импульса гироскопа займет в пространстве новое положение

что соответствует повороту оси гироскопа в горизонтальной плоскости на некоторый угол . При постоянно действующем моменте силы гироскопический эффект приведет к равномерному горизонтальному вращению оси гироскопа с относительно малой угловой скоростью

(29)

Установим связь между и другими параметрами гироскопа. Из рис. 2 следует, что

(30)

Для малых углов , тогда, подставляя (29) в (30), получаем:

(31)

Учитывая, что (см. (26) и (27)) и принимая во внимание известное соотношение (32)

находим (33)

Формула (33) дает возможность определять момент инерции гироскопа двумя способами. Во-первых, можно измерить зависимость при . Будучи построенной в координатах и , эта зависимость будет прямой линией с коэффициентом наклона , откуда (34).

Во-вторых, можно измерить зависимость при . Определяя наклон этой прямой линии , находим (35).

При расчетах по формулам (34) и (35) угловая скорость вращения диска гироскопа рассчитывается следующим образом: (36), где n — число оборотов в единицу времени.