Энергия движущегося твердого тела

Кинетическая энергия поступательно движущегося твердого тела определяется очень просто. Так как все точки тела при таком движении имеют одинаковую скорость, то кинетическая энергия равна просто (4)

где — скорость тела, а М — его полная масса. Это выражение такое же, как если бы со скоростью двигалась одна материальная точка массы М. Ясно, что поступательное движение твердого тела вообще ничем существенным не отличается от движения материальной точки.

Определим теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Для этого разделим его мысленно на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки. Если m_i есть масса i-го элемента, а r_i— его расстояние до оси вращения, то его скорость равна , где — угловая скорость вращения тела. Кинетическая энергия этого элемента равна и, просуммировав эти энергии, получим полную кинетическую энергию тела (5)

Стоящая здесь в скобках сумма зависит от того, с каким именно твердым телом мы имеем дело (от его формы, разме­ров и распределения масс в нем), а также от того, как расположена в нем ось вращения. Эта величина, характеризующая твердое тело и выбранную ось вращения, называется моментом инерции тела относительно данной оси.

Обозначим его буквой I: (6)

Если твердое тело — сплошное, то его нужно разделить на бесконечно большое количество бесконечно малых частей; суммирование в написанной формуле заменяется тогда интегрированием. Укажем для примера, что момент инерции сплошного шара (с массой М и радиусом R) относительно оси, проходящей через его центр, равен ; момент инерции тонкого стержня (длины l) относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его середи­ну, равен .

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела может быть написана в виде (7)

Это выражение формально похоже на выражение для энергии поступательного движения, отличаясь от него тем, что вместо скорости V стоит угловая скорость , а вместо массы — момент инерции. Здесь мы имеем первый пример того, что при вращении момент инерции играет роль, аналогичную массе при поступательном движении.

Кинетическую энергию произвольно движущегося твердого тела можно представить в виде суммы поступательной и вращательной энергий, если в способе разделения двух движений выбрать основную точку О в центре инерции тела. Тогда вращательное движение будет представлять собой движение точек тела относительно его центра инерции, т.е.играет роль «внутреннего» движения. Поэтому для кинетической энергии произвольного движущегося тела имеем (8)

Индекс «0» у момента инерции означает, что он берется относительно оси, проходящей через центр инерции.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси Z, не проходящей через центр инерции. Кинетическая энергия этого движения есть , где I - момент инерции относительно оси Z. С другой стороны, можно рассматривать это же движение как совокупность поступательного движения со скоростью V центра инерции и вращения (с той же угловой скоростью ) вокруг оси, проходящей через центр инерции параллельно оси Z. Если а есть расстояние центра инерции от оси Z, то его скорость V= a . Поэтому кинетическую энергию тела можно представить также и в виде

(9)

Сравнивая оба выражения, найдем

Эта формула связывает момент инерции тела относительно какой-либо, оси с моментом инерции относительно другой оси, параллельной первой и проходящей через центр инерции (теорема Гюйгенса-Штейнера). Очевидно, что I всегда больше, чем I₀. Другими словами, при заданном направлении оси минимальное значение момента инерции достигается для оси, проходящей через центр инерции.