double arrow

Вращательный момент

При вращательном движении тела момент его импульса играет роль, аналогичную роли импульса при движении материальной точки. В простейшем случае тела, вращающегося вокруг закрепленной оси, такую роль играет составляющая момента вдоль этой оси (назовем ее осью Z).

Для вычисления этой величины разобьем тело, как и при вычислении кинетической энергии, на отдельные элементарные части. Момент импульса отдельного (i-ro) элемента есть , где — радиус-вектор этого элемента, отсчитываемый от некоторой точки О на оси Z, по отношению к которой определяется момент (рис. 3). Поскольку каждая точка тела движется вокруг оси вращения по окружности, то скорость касательна к этой окружности.

Разложим вектор ,- на два вектора, из которых один направлен вдоль оси, а другой () — перпендикулярен ей. Тогда произведение даст как раз ту часть момента импульса, которая направлена параллельно оси Z (напомним, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, проходящей через эти векторы). Так как векторы и взаимно перпендикулярны (радиус окружности и касательная к ней), то величина произведения есть просто где — расстояние элемента от оси вращения. Наконец, поскольку , то мы приходим к выводу, что составляющая момента импульса элемента вдоль оси вращения равна . Образовав сумму , мы и получим искомую проекцию Mz полного момента импульса тела на ось Z. Эту величину называют также моментом импульса (или вращательным моментом) тела относительно данной оси.

Вынеся в написанной сумме общий множитель за скобку, мы получим в скобках сумму, как раз совпадающую с выражением для момента инерции I. Таким образом, получим окончательно (11)

т. е. вращательный момент тела равен произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно оси вращения. Обратим внимание на аналогию между этим выражением и выражением для импульса частицы: вместо скорости стоит угловая скорость, а роль массы снова играет момент инерции.

Если на тело не действуют внешние силы, вращательный момент тела остается постоянным: тело вращается «по инерции» с постоянной угловой скоростью . Постоянство следует при этом из постоянства Mz в силу подразумевающейся нами неизменности самого тела при вращении, т. е. неизменности его момента инерции. Если же взаимное расположение частей тела (а тем самым и его момент инерции) меняется, то при свободном вращении будет меняться и угловая скорость так, чтобы произведение оставалось постоянным. Если, например, на вращающейся с малым трением скамейке находится человек с гирями в руках, то, раздвигая руки, он тем самым увеличит свой момент инерции; сохранение произведения приведет при этом к уменьшению угловой скорости его вращения.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: