double arrow

Система параметрів і характеристик рівняння регресії

Після теоретичних досліджень поставленої проблеми, вибору виду рівняння, збору і обробки інформації настає важлива стадія в процесі використання методів кореляції і регресії – визначення параметрів рівняння (а0,аі) і статистичних характеристик, за допомогою яких оцінюється якість рівняння.

Параметри будь-якого рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів:

, (9.1)

де уі – фактичне значення результативної ознаки;

- розрахункове (на підставі реалізованого рівняння) значення результативної ознаки.

На основі методу найменших квадратів формується система нормальних рівнянь, склад яких залежить від виду рівняння регресії.

Стосовно парного лінійного рівняння і квадратичного рівняння система нормальних рівнянь має такий вигляд:

(9.2)

(9.3)

В рівняннях 9.2 і 9.3 х і у – відомі величини, а0; а1; а2 – невідомі, які можна визначити шляхом реалізації системи рівнянь.

Для спрощення методики визначення параметрів рівняння (а0і) можна використати метод детермінантів. Для лінійного рівняння за цим методом:

, (9.4.)

.

Найбільш важливою характеристикою рівняння, що відображає його якість і цінність, є тіснота зв’язку між фактором (факторами) і результативною ознакою.

Для оцінки тісноти зв’язку використовуються:

- в парних рівняннях – парний лінійний коефіцієнт кореляції (r);

- в парних нелінійних рівняннях - парне кореляційне відношення ;

- в багатофакторних множинних лінійних рівняннях –множинний лінійний коефіцієнт кореляції ;

- в множинних нелінійних рівняннях - множинне кореляційне відношення .

Парний лінійний коефіцієнт кореляції обчислюється за формулою:

. (9.5)

Лінійний множинний коефіцієнт кореляції, кореляційне відношення (парне і множинне) розраховуються за однаковою формулою:

. (9.6)

Для оцінки рівня зв’язку між досліджуваними ознаками використовуються певні межі (таблиця 9.1):

Таблиця 9.1 - Оцінка рівня зв’язку

Величина R, r, η До 0,5 0,5 – 0,6 0,6 – 0,7 0,7 – 0,8 0,8 – 0,9 Більше 0,9
Сила зв’язку дуже низький низький помітний середній сильний дуже сильний

Окрім тісноти зв`язку для оцінки якості рівнянь застосовують систему статистичних характеристик, серед яких особлива увага приділяється середній помилці апроксимації :

. (9.7)

Зі зміною обсягу вибіркової сукупності значення параметрів і характеристик рівнянь, як правило, коливаються. Тому з певною імовірністю потрібно бути впевненим, що значення цих показників,

по-перше, не будуть рівними нулю у генеральній сукупності (спростування, так званої, “нульової гіпотези”) і, по-друге, велична їх буде знаходитися в певних інтервалах довіри. Оцінка статистичної надійності параметрів і статистичних характеристик рівняння, відома під назвою перевірка істотності, визначається за допомогою t-критерія Стьюдента. Взагалі, t- критерій розраховується як відношення значення певного показника до його стандартної помилки.

Так, наприклад, t-критерій для коефіцієнта множинної лінійної

кореляції дорівнює:

, (9.8)

де n – кількість одиниць сукупності;

m - число факторів в рівнянні.

При заданому рівні істотності (l) можна з імовірністю Р=1 - l стверджувати, що коефіцієнт множинної лінійної кореляції у генеральній сукупності буде знаходитись в інтервалі:

. (9.9)

Істотність рівняння перевіряється за F – критерієм Фішера:

(9.10)

Про істотність показників і рівнянь можна стверджувати в тому

випадку, коли виконується умова:

; , (9.11)

де р, т – індекси слів відповідно “розрахункове” і “табличне”.

В лінійних рівняннях коефіцієнти при невідомих (аі) є коефіцієнтами регресії. Вони показують, на скільки одиниць зміниться функція зі зміною певного фактора на одну одиницю за умови фіксованого значення решти факторів.

Для усунення відмінності в одиницях виміру показників, що входять в рівняння, визначається коефіцієнт еластичності, який для лінійного рівняння обчислюється за формулою:

. (9.12)

Коефіцієнт еластичності показує, на скільки процентів зміниться функція зі зміною певного фактора на 1% за умови фіксованого значення інших факторів.

В логарифмічних рівняннях коефіцієнти (аі) по суті є коефіцієнтами еластичності.

Для визначення ступеня впливу кожного фактора на результативний показник в прийнятих одиницях виміру обчислюється гранична продуктивність (гранична віддача, додатковий продукт).

Для логарифмічного рівняння гранична продуктивність обчислюється за формулою:

. (9.13)

Деякі фактори в рівняннях взаємозамінні. Для визначення взаємозамінності факторів обчислюється гранична норма заміщення, яка дорівнює співвідношенню додаткових продуктів зі знаком мінус:

. (9.14)

Первинні і вторинні параметри рівняння широко використовуються в економічному аналізі і прогнозуванні.

В багатофакторних лінійних рівняннях абсолютна зміна результативного показника визначається за формулою:

. (9.15)

В багатофакторних рівняннях відносна зміна результативної ознаки визначається за формулою:

. (9.16)

Коефіцієнт множинної лінійної кореляції і множинне кореляційне відношення в квадраті () називається коефіцієнтом детермінації. Останній показує вплив включених в рівнянні факторів на рівень результативної ознаки. Наприклад, якщо R = 0,9, то . Це означає, що рівень досліджуваного показника на 81% залежить від включених в рівняння факторів і на 19% - від неврахованих факторів.

Розрахунок параметрів і характеристик лінійного рівняння, яке відображає зв’язок між вартістю основних фондів і обсягом товарної продукції, розглянемо на основі таблиці 9.2.

Таблиця 9.2- Обсяги товарної продукції і вартості основних фондів

Номер підпри ємства Обсяг товарної продукції, млн.грн. (у) Вартість основних фондів, млн.грн. (х)     ху     х2     y2            
                 
            19,4 0,6 0,030
            25,0    
            30,6 0,4 0,013
            36,2 5,2 0,168
            41,8 1,8 0,045
            47,4 8,6 0,154
            53,0 1,0 0,019
            58,6 1,4 0,023
            64,2 4,2 0,070
            69,8 0,2 0,003
Разом             - 0,525

Параметри рівняння розрахуємо за формулами 9.4:

а0= ;

а1= .

Таким чином, рівняння, яке описує зв’язок між вартістю основних фондів та обсягом товарної продукції, має такий вигляд:

у=13,8+5,6х

Розрахункове значення функції одержане шляхом послідовного використання фактичного значення фактора (х) в побудованому рівнянні:

= і т.д.

Про вірність розрахунків параметрів рівняння (а0,аі ) свідчить рівність:

. (9.17)

Незначні відхилення викликані, як правило, округленням розрахунків. Парний лінійний коефіцієнт кореляції обчислимо за формулою 9.5:

r== ,

тобто, зв’язок між вартістю основних фондів і обсягом товарної продукції дуже сильний (див. таблицю 9.1)

Середню помилку апроксимації розрахуємо за формулою 9.7:

.

В економічних дослідженнях значення середньої помилки не повинно перевищувати 10%.

Коефіцієнт еластичності розрахуємо за формулою 9.13:

E=ai .

Згідно з інтерпретацією економічної суті коефіцієнтів регресії і еластичності зі зміною величини основних фондів на 1 млн. грн. обсяг товарної продукції зміниться на 5,6 млн. грн., а у відносному значенні – зі зміною вартості основних фондів на 1% обсяг продукції зміниться на 0,7%.

Оцінку коефіцієнтів регресії і еластичності доцільніше здійснювати в багатофакторних рівняннях.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: