Метод Омшанского (на наличие цикличности). в ином случае наезу понижений (в нашем случае) понижений) ряда будет распределено асимптотически нормально с математическим

Статистика 7.

Анализ временных рядов.

Строим хронологически е графики распределения наших данных Х и У по времени (годам) (первы й шаг). Внешний вид такого графика уже может дать предварительные подсказки исследователю о степени и виде временн о й связи как внутри одного процесса, так и между двумя или несколькими рядами случайных величин. Вот как раз проверку на случайность каждого из наших временн ы х рядов и необходимо провести в первую очередь.

Случайный ряд – это ряд, в котором предполагается отсутствие связи между его отдельными частями (членами). В противном случае мы можем предполагать наличие тренда, положительного – при общем росте значений ряда, и отрицательного – при общем понижении значений ряда. Также нарушением случайности ряда является предполагаемое наличие колебаний значений ряда – цикличность или квазипериодичность.

Метод Вейнберга (на наличие тренда).

Можно использовать одновременно таблицу из неранжированных данных и график временн о го распределения ряда. Подсчитывается число повышений или понижений ряда. Повышение – когда последующий член ряда больше предыдущего, и понижение – когда последующий член ряда меньше предыдущего. Что считать – разницы нет. Если ряд случайный, то общее число повышений (понижений) ряда будет распределено асимптотически нормально с математическим ожиданием

М_= N/2 и дисперсией σ²= (N+1)/12. Т.о., определяем количество понижений (в нашем случае) n _(второй шаг) и проводим расчет М _ и σ² (третий шаг). Затем находим t_= (n_ - M_)/√σ² и сравниваем с t табл. по α=0,05, m=N-1 (четвертый шаг).

Если | t_| > t табл., то нулевую гипотезу о случайности ряда отклоняем (есть предположение наличия тренда), в ином случае – наоборот. Проверяем оба ряда.

Метод Омшанского (на наличие цикличности). в ином случае наезу понижений (в нашем случае) понижений) ряда будет распределено асимптотически нормально с математическим

Выявляет наличие цикличности или вообще колебаний в ряду. Необходимо подсчитать число экстремумов в неранжированном ряду (точек перегиба на графике) nэ (пятый шаг). Если встречается 2 или 3 одинаковых значения – то их считаем за одно, но уменьшаем при этом N на это же количество. Для случайного ряда число экстремумов асимптотически стремится к нормальному закону распределения с математическим ожиданием Мэ= 2/3 N и дисперсией σ²= (16 N – 29) /90. Р ассчитываем по этим формулам Мэ и σ² (шестой шаг) и tэ = (nэ –Mэ) /√σ² (седьмой шаг). Сравниваем с t табл.(α=0,05, m=N-1).

Если |tэ| > t табл., то гипотезу о случайности ряда отвергаем (предполагается наличие какой-то цикличности). В противном случае – наоборот. П роверяем оба ряда.

При nэ значительно меньшим Мэ (в 2 и более раза) имеется преобладание низкочастотных колебаний с большой временной амплитудой с периодом больше ¼ длины ряда. При nэ б о льшим Мэ начинают преобладать высокочастотные колебания и для выявления тенденций в изменении величины необходимо эти колебания сгладить. Для этого ряд разбиваем на равные временные отрезки (в нашем случае по 5 лет), рассчитываем среднее значение и строим осредненную кривую на хронологическом графике (восьмой шаг). Она получится очень гладкой и не совсем объективной: устраняются некоторые интересные особенности.

Метод скользящего среднего (сглаживания).

Первоначально надо выбрать период осреднения τ0 (как правило нечетное число) зависящий от средней продолжительности высокочастотных колебаний. Если взять маленький – плохо сгладится, если большой – риск потерять важные закономерности. Можно расчет проводить по нескольким периодам, но это долго. В нашем случае берем те же 5 лет, но рассчитываем среднее за 5 лет, с каждым шагом смещаясь на 1 год. Начальная рассчитанная точка Х1 будет приходиться на третий год с начала ряда. Расчетный ряд подобных формул будет следующим:

Х1 ср. = (Х1+Х2+Х3+Х4+Х5) / 5;

Х2 ср. = (Х2+Х3+Х4+Х5+Х6) / 5;

Х3 ср. = (Х3+Х4+Х5+Х6+Х7) / 5; и т.д.

На хронологическом графике строится кривая (девятый шаг), полученная методом скользящего среднего и она заведомо будет более плавной (сглаженной), чем изначальная. Всего на графике должно присутствовать три кривых, с разной степенью характеризующих временную изменчивость искомого ряда.

Для У построение проводится аналогично.