Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. В следствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.
При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так:
1.25*100 = 0.125*101 = 0.0125*102 =...
или так:
12.5*10-1 = 125.0*10-2 = 1250.0*10-3 =....
Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M*qp, где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.
|
|
Если "плавающая" точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:
Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.12<= |M| < 1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным
Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Примеры нормализованного представления:
753.15 = 0.75315*103;
— 0.000034 = — 0.34*10-4;
—101.01 = —0.10101*211 (порядок 112 = 310)
0.000011 = 0.11*2-100 (порядок —1002 = —410).
Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:
Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.
Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.
|
|
Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.
Стандартные форматы представления вещественных чисел:
1) одинарный — 32-разрядное нормализованное число со знаком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет только 23 разряда).
2) двойной — 64-разрядное нормализованное число со знаком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда).
3) расширенный — 80-разрядное число со знаком, 15-разрядным смещенным порядком и 64-разрядной мантиссой. Позволяет хранить ненормализованные числа.
Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа, т. е. любое двоичное целое число, содержащее не более m разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.