Глава 6. "Прочно укоренённые фикции"

Наиболее характерная для Лейбница мысль, хотя он не всегда утверждал её с одинаковой силой и порой, кажется, весьма неохотно выносил в её отношении категорические формулировки, состоит по сути в том, что бесконечные и бесконечно малые величины являются всего лишь фикциями; однако при этом он добавляет, что это "прочно укоренённые фикции", и этим он не просто имеет в виду, что они удобны для вычислений¹ или даже для "нахождения реальных истин", хотя иногда он также настаивает и на таковой удобности; но он постоянно повторяет, что эти фикции "укоренены в реальности", что они fundamentum in re, что, очевидно, подразумевает нечто больше, нежели просто утилитарную ценность; и для него сама такая ценность объясняется всё же укоренённостью этих фикций в реальности. В любом случае, Лейбниц считает, что для оправдания надёжности его метода достаточно рассматривать не бесконечные или бесконечно малые величины в строгом смысле слова, поскольку они не имеют соответствия в реальности, а только величины, большие или малые настолько, насколько нужно исследователю или насколько необходимо для получения погрешности меньше некоторой заданной величины. Тем не менее необходимо выяснить, верно ли то, что, как он заявляет, вышеозначенная погрешность таким образом становится ничтожной, то есть что такое понимание исчисления бесконечно малых обеспечивает совершенную строгость его принципов, но мы вернёмся к этому вопросу позже. Как бы то ни было в отношении последнего пункта, для Лейбница утверждения касательно бесконечных и бесконечно малых величин подпадают под категорию утверждений, которые, согласно ему, являются только toleranter verae (приемлемо истинными) или "приемлемыми" и должны быть "восстановлены" некоторым пояснением, как в случае рассмотрения отрицательных величин как "меньших нуля" или в ряде других случаев, в которых язык геометрии подразумевает "в определённой степени образную и таинственную манеру речи"²; слово "таинственный" могло бы показаться отсылкой к глубинному символическому смыслу геометрии, но Лейбниц имел в виду вовсе не это, и, вероятно, как это часто с ним случалось, говоря так, он выражал только некие смутные остатки некоторых эзотерических знаний, в той или иной мере усвоенных.

1 В этом соображении практической полезности находил достаточное оправдание Карно; очевидно, что за время от Лейбница до Карно "прагматическая" тенденция науки модерна стала намного более гласной.

2 Mémoire, указ. выше, в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1712.

Что касается смысла, в котором следует понимать утверждение, что бесконечно малые величины являются "прочно укоренёнными фикциями", Лейбниц заявлял, что "бесконечные и бесконечно малые укоренены таким образом, что в области геометрии и даже в природе их можно рассматривать как совершенно реальные"³; в самом деле, для него всё, существующее в природе, некоторым образом подразумевает понятие бесконечного или, по крайней мере, того, что он понимал под бесконечным. Как он говорил, "высшая ступень трансцендентального анализа или геометрии, подразумевающая рассмотрение какого-либо бесконечного, будет, несомненно, тем более важной вследствие своих применений к процессам природы, которая являет бесконечное во всех своих проявлениях"⁴; но, пожалуй, это так только по причине нашей невозможности составить адекватное представление о природе и потому, что она всегда являет элементы, которые мы не можем воспринять с полной отчётливостью. Если согласиться с этим соображением, тогда не следует слишком буквально воспринимать такие утверждения, как, например, следующее: "Поскольку наш метод относится, собственно, к тому разделу математики, который занимается бесконечным, он будет весьма полезен в приложениях математики к физике, ибо в процессах природы, как правило, проявляются качества её беспредельного Творца"⁵. Но даже если этим Лейбниц подразумевает, что сложность вещей природы далеко превосходит пределы отчётливого восприятия, тем не менее остаётся в силе то его соображение, что бесконечные и бесконечно малые величины должны быть fundamentum in re (укоренены в реальности, в вещах), и эта укоренённость обнаруживается в природе вещей, по крайней мере, в его понимании, и представляет собой не что иное, как то, что он называет "принципом континуальности" (к рассмотрению которого мы обратимся позже), который он считает (обоснованно или необоснованно), коротко говоря, только частным случаем некоего "принципа справедливости", который в конечном счёте связан с идеей порядка и гармонии и который также выражается во всех случаях симметрии, как, например, в случаях комбинаций и упорядочений.

3 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

4 Письмо маркизу [Гийому Франсуа] Лопиталю, 1693 г.

5 "Considerations sur la différence qu'il y a entre l'Analyse ordinaire et le nouveau Calcul des transcendantes", в: Journal des Sçavans, 1694.

Итак, если бесконечные и бесконечно малые величины представляют собой только фикции, даже если признать, что они действительно являются "прочно укоренёнными", можно задаться вопросом: зачем употреблять такие выражения, которые, даже если их рассматривать как toleranter verae (приемлемо истинные), всё же являются некорректными? Здесь уже, можно сказать, имеет место предзнаменование дурного "конвенционализма" науки модерна, хотя с той заметной разницей, что эта последняя уже никоим образом не интересуется, являются ли фикции, которыми она оперирует, "прочно укоренёнными" или нет, или, согласно другому выражению Лейбница, могут ли они быть поняты sano sensu (разумным образом), и даже имеют ли они смысл вовсе. Вместе с тем, поскольку можно обойтись без этих фиктивных величин и довольствоваться рассмотрением вместо них величин, просто задаваемых столь большими или столь малыми, сколь угодно исследователю, и которые по этой причине могут называться неопределённо большими или неопределённо малыми, несомненно, было бы лучше сделать так с самого начала и таким образом избежать введения фикций, которые, какой бы ни была их fundamentum in re, не имеют, в конечном итоге, практической ценности не только применительно к вычислениям, но даже применительно к собственно методу бесконечно малых. Выражения "неопределённо большая" и "неопределённо малая" или – что то же самое, но, пожалуй, точнее – "неопределённо возрастающая" и "неопределённо убывающая" не только явно являются единственными подходящими по причине своей строгой точности – они также чётко указывают, что обозначаемые ими величины могут быть исключительно переменными, а не постоянными величинами. Как верно заметил один математик, "бесконечно малое не представляет собой весьма малую величину, имеющую действительное значение, которое может быть найдено; его характер заключается в том, чтобы быть в высшей степени переменным и способным принимать значение, меньшее, чем любое другое, которое можно задать; поэтому намного лучше было бы называть его неопределённо малым"⁶.

6 Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinitésimale, с. 21-22. Автор добавляет: "Но поскольку первое выражение ["бесконечно малые"] прижилось в языке, мы считаем, что оно должно остаться". Эти сомнения, очевидно, являются абсолютно излишними, ибо словоупотребление не является достаточным основанием для оправдания ошибок и неправильностей языка, и если не подняться над злоупотреблениями такого рода, невозможно даже пытаться внести в термины большую точность и ясность, чем уже имеющиеся в привычном словоупотреблении.

Употребление этих терминов предотвратило бы многие проблемы и прения, и в этом нет ничего удивительного, поскольку дело не просто в проблеме слов, а в замене ошибочной идеи верной, фикции – реальностью; очевидно, такой шаг не позволил бы рассматривать бесконечно малые величины в качестве постоянных и определённых, ибо, как мы заметили выше, слово "неопределённый" всегда содержит идею "превращения" и, соответственно, изменения или, в случае величин, переменности; и возымей Лейбниц привычку к употреблению этих терминов, он, несомненно, не был бы столь легко увлечён столь неудачным сравнением с песчинкой. Кроме того, сведение infinite parva ad indefinite parva (бесконечно малых к неопределённо малым) в любом случае было бы более корректным, чем сведение их ad incomparabiliter parva (к несравнимо малым); этим достигалась бы строгость рассуждений без какой-либо потери точности. Бесконечно малые величины, конечно, "не сравнимы" с обычными величинами, но это можно понимать не только однозначно, и, в самом деле, это выражение зачастую понимали не в том смысле, который был в него заложен. Лучше сказать, что они "неопределимы", используя ещё одно выражение Лейбница, ибо кажется, что этот термин может быть понят с полной строгостью только в отношении величин, которые способны принимать столь малое значение, сколь угодно исследователю, то есть менее любой заданной величины, и для которых, соответственно, никоим образом нельзя "определить, приписать"* определённое значение, а это и есть в действительности смысл indefinite parva (неопределённо малых). К сожалению, практически невозможно выяснить, являются ли, по мысли Лейбница, "несравнимые" и "неопределимые" корректными и полными синонимами; но, в любом случае, как минимум ясно то, что действительно "неопределимая" величина посредством подразумеваемой ею способности неопределённого убывания будет в силу этого "несравнимой" с любой заданной величиной, и, если распространить эту мысль на разные уровни бесконечно малых, даже с любой величиной, по отношению к которой она неопределённо убывает, если последняя рассматривается как обладающая хотя бы относительным постоянством.

* assign – "приписать, присвоить, определить"; assignable переводим как "определимые" (прим. перев.)

Если есть такой пункт, в отношении которого существует общее единодушие, даже без глубокого рассмотрения вопросов принципиальных оснований, то это то, что понятие неопределённо малого, по крайней мере, с чисто математической точки зрения, является совершенно достаточным для анализа бесконечно малых, и это без особого труда признают сами "инфинитисты"⁷. В этом отношении можно, следовательно, довольствоваться таким определением, как данное Карно: "Что такое бесконечно малая величина в математике? Не что иное, как величина, которая может быть задана столь малой, сколь угодно исследователю, без необходимости по этой причине изменять значения тех величин, с которыми исследователь её сравнивает"⁸. Но что касается истинного смысла бесконечно малых величин, весь вопрос не сводится только к этому; для исчисления неважно, что бесконечно малые являются только фикциями, поскольку можно довольствоваться понятием неопределённо малых, не вызывающим логических проблем; к тому же, поскольку по соображениям метафизического характера, изложенным в начале данной работы, невозможно признать существование количественного бесконечного, как бесконечно большого, так и бесконечно малого⁹, или вообще любого бесконечного определённого и относительного порядка, вполне ясно, что бесконечно малые могут быть только фикциями и ничем более; но если (на законных или незаконных основаниях) эти фикции были изначально введены в исчисление бесконечно малых, это значит, что, по мысли Лейбница, они тем не менее чему-то соответствуют, каким бы некорректным ни был способ выражения их природы. Поскольку мы заинтересованы в рассмотрении принципов, а не просто метода вычислений (который для нас не представляет интереса), мы должны задаться вопросом, в чём в точности состоит ценность этих фикций, не только с логической, но также и с онтологической точки зрения, являются ли они столь "прочно укоренёнными", как считал Лейбниц, и можем ли вместе с ним сказать, что они toleranter verae (приемлемо истинны), и как минимум принимать их как таковые modo sano sensu intelligantur (при постижении разумным образом). Для ответа на эти вопросы необходимо более пристально рассмотреть его концепцию "принципа континуальности", ибо именно в нём он намеревался обнаружить fundamentum in re бесконечно малых.

7 См. особенно Л. Кутюра: De l'infini mathématique, с. 265, прим.: "Можно логическим образом вывести исчисление бесконечно малых только из одного понятия неопределённого…". Правда, выражение "логическим образом" здесь является оговоркой, так как у автора это понятие противопоставляется понятию "рациональным образом" (что представляет собой довольно странную терминологию); тем не менее само высказывание примечательно.

8 Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal, с. 7, прим.; ср.: там же, с. 20. Название работы едва ли оправдывает себя, поскольку в действительности в ней не обнаруживается ни одной идеи метафизического порядка.

9 Чрезмерно расхваленная концепция "двух бесконечностей" Паскаля является метафизическим абсурдом, проистекающим опять-таки исключительно из смешения бесконечного и неопределённого, взятого как возрастающая и убывающая величина.