Глава 8. "Бесконечное деление" или неопределённая делимость

С точки зрения Лейбница, делима не только материя, но все её части "актуально делимы всё дальше без конца, <…> каждая часть на другие части, из которых каждая делима"¹; он подчёркивает это прежде всего для того, чтобы обеспечить теоретическую поддержку недавно рассмотренной нами концепции: "Из возможности актуального разделения следует, что в каждой части вещества, какой бы малой она ни была, существует как бы свой мир бесчисленных существ"². Бернулли также предполагал возможность такого актуального деления материи in partes numero infinitas (на бесконечно многие части), но делает из этого выводы, которые не могут быть приняты Лейбницем: "Если конечное тело, – говорит он, – имеет бесконечные по числу части, то, как я всегда полагал и ныне полагаю, мельчайшие из этих частей должны находиться в неопределимом или бесконечно малом отношении к целому"³; на что Лейбниц отвечает: "Даже если согласиться, что не существует части материи, которая не может подвергнуться актуальному делению, тем не менее это не означает признание неделимых элементов или частиц, меньших всех остальных, или бесконечно малых частиц, но оставляет место только для соображений всё меньших частей, которые, однако, являются обычными величинами, точно так же, как при возрастании получаются всё большие величины"⁴. Таким образом, Лейбниц оспаривает существование именно minimae portiones (мельчайших частей) или "конечных элементов"; для Бернулли, напротив, кажется ясным, что актуальное деление подразумевает одновременное существование всех рассматриваемых элементов, так же как в случае "бесконечной" последовательности даны все составляющие её члены одновременно, что подразумевает существование terminus infinitesimus (бесконечного предела). Но для Лейбница существование такого предела является не менее противоречивым, чем существование "бесконечного числа", а понятие меньшего из чисел или fractio omnium infima (части, меньшей всех других) не менее абсурдным, чем понятие наибольшего из чисел. "Бесконечность" последовательности в его понимании характеризуется как раз невозможностью достижения конечного члена, и таким же образом материя не могла бы быть делимой "бесконечно", если бы это деление могло бы быть завершено и заканчиваться на "конечных элементах"; и дело не в том, что мы просто неспособны фактически достичь этих конечных элементов, как допускает Бернулли, а в том, что они не существуют в природе вовсе. Не существует неделимых телесных элементов или "атомов" в собственном смыле этого слова, так же как нет неделимых дробей, из которых нельзя было бы получить меньшие дроби, в числовом порядке, или – в геометрическом порядке – линейных элементов, которые нельзя разделить на меньшие элементы.

1 Монадология, 65.

2 Письмо к Иоганну Бернулли, между 12 и 22 июля 1698 года.

3 Ранее цит. письмо от 23 июля 1698 года.

4 Письмо от 29 июля 1698 года.

Во всех этих рассуждениях Лейбниц в основном употребляет слово "бесконечное" в точности в том же смысле, как когда он говорит о "бесконечной последовательности"; для него, говорить о любой последовательности (включая последовательность целых чисел), что она "бесконечна", не означает, что она должна заканчиваться неким terminus infinitesimus или "бесконечным числом", но означает, напротив, что она не должна иметь конечного члена, поскольку её члены plus quam numero designari possint (более чем исчислимы), то есть составляют множество, превосходящее всякое число. Подобным образом, если можно утверждать, что материя делима бесконечно, то по той причине, что любая из её частей, какой бы малой она ни была, всегда заключает в себе такое множество; иными словами, у материи нет partes minimae (мельчайших частей) или простейших элементов, она является по своей сущности составной: "Верно, что простейшие субстанции, то есть такие, которые не существуют посредством соединения, реально неделимы, но они нематериальны и представляют собой только принципы действия"⁵. Именно в смысле неисчислимого множества – а именно в этом смысле, как правило, выражается Лейбниц – идея так называемого бесконечного может быть приложена к материи, к геометрической протяжённости и вообще к континуальному (непрерывному)*, взятому в отношении к его структуре**; кроме того, этот смысл приложим не только исключительно к infinitum continuum (континуальному бесконечному), но также и к infinitum discretum (дискретному бесконечному), как мы видели на примерах множества всех чисел и "бесконечной последовательности". По этой причине Лейбниц мог сказать, что величина является бесконечной постольку, поскольку она является "неисчерпаемой", что означает, что "можно всегда взять величину столь малую, сколь угодно" и "будет верным, например, что 2 равняется 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …, что представляет собой бесконечную последовательность, составленную из всех дробей с числителем 1 и знаменателями, возрастающими с геометрической прогрессией с шагом в два, хотя берутся всегда только обычные числа, то есть никогда не вводится бесконечно малая дробь, то есть дробь с бесконечным числом в знаменателе"⁶. Вместе с тем, только что сказанное позволяет нам понять, как Лейбниц, хотя и утверждая, что бесконечное (в его понимании) не является целым, тем не менее мог применять эту идею бесконечного к континуальному (непрерывному): непрерывное множество, как, например, любое конкретное тело, действительно составляет целое, даже то, что мы выше назвали истинным целым, логически первичным по отношению к его частям и независимым от них, но очевидно, что оно всегда само по себе конечно; поэтому Лейбниц может назвать его бесконечным не в отношении целого, а только в отношении его частей, на которые оно может быть разделено, и только в той мере, в какой множество этих частей фактически превосходит любое определимое число. Это то, что может быть названо аналитической концепцией бесконечного, поскольку рассматриваемое здесь множество в действительности неисчерпаемо только в аналитическом смысле, как мы поясним далее.

5 Письмо Вариньону от 20 июня 1702 года.

* Взгляд на материю как континуальное (непрерывное) явление вряд ли может считаться метафизическим и отдаёт скорее грубым материализмом; во всяком случае, такой взгляд полностью противоречит взглядам мусульманской схоластики, считающей, что "непрерывность – свойство Бога, а отнюдь не мира и всех составляющих его вещей, ибо вещи вообще не обладают никакой постоянной природой" (В.В. Соколов. Средневековая философия. / 2-е изд. Москва, 2001. с. 161). Средневековые христианские финитисты также считали, что в мире самом по себе нет ничего континуального, "вся континуальность – от души" (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 103-104). Возражения Генона против современного понятия "материи" см. далее. (прим. перев.)

** Применение термина "структура" к континууму достаточно спорно (см.: В.Н. Катасонов. Непрерывность и прерывность. // Новая философская энциклопедия. / в 4 тт. – т. 3. Москва, 2010; Прерывное и непрерывное. / редколл.: М.А. Парнюк и др. – Киев: Наукова думка, 1983. с. 21, 25). Скорее Генон имеет в виду возможности наблюдателя, исследователя по анализу, членению континуума, ибо "континуум" по определению подразумевает отсутствие структуры. В случае континуума можно говорить о "связи", "целостности", "однородности" как его принципе, но не о структуре. Понятие "структуры" применимо как раз к дискретному. (прим. перев.)

6 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

Если задаться вопросом о сути идеи "бесконечного деления", то следует признать, что, как и в случае с "бесконечным множеством", она содержит некоторую долю истины, хотя способ её изложения не может не давать повода для критики. Прежде всего, само собой разумеется, что, в соответствии со всем изложенным до сих пор, не может быть речи о бесконечном делении, но только о неопределённом делении; а с другой стороны, следует приложить эту идею не к материи вообще, что, пожалуй, не имеет смысла, а только к телам или к "материальным телам", если кто-то будет настаивать на обязательности термина "материя", несмотря на крайнюю туманность этого понятия и множество порождаемых им двусмысленностей⁷. На самом деле делимость относится собственно к протяжённости, а не к материи, как бы ни понимать эти термины, а смешиваться эти два понятия могут только в картезианской концепции, согласно которой природа тел заключается существенно и единственно в протяжённости – концепции, которую к тому же Лейбниц не признавал. Если, таким образом, все тела непременно делимы, то это по той причине, что они обладают протяжённостью, а не потому что они материальны. Следует снова напомнить, что протяжённость, принадлежа порядку обусловленного, не может быть бесконечной; вследствие этого она, очевидно, не может подразумевать наличие возможностей, обладающих большой степенью бесконечности, чем она сама; но поскольку делимость является качеством, свойственным природе протяжённости, её ограничения могут происходить только из самой этой природы; любая протяжённость всегда делима, и, таким образом, можно считать её делимость поистине неопределённой, при том что эта неопределённость обусловлена неопределённостью протяжённости. Следовательно, протяжённость как таковая не может состоять из неделимых элементов, ибо такие элементы должны были бы быть непротяжёнными, чтобы быть поистине неделимыми, а сумма непротяжённых элементов может составлять протяжённость не более, чем сумма нулей может составлять число; именно поэтому, как мы поясняли в другой работе⁸, точки не являются элементами или частями линии; подлинные линейные элементы всегда представляют собой расстояния между точками, которые являются только краями этих расстояний. Вместе с тем, сам Лейбниц придерживался такой точки зрения, и, согласно ему, именно в этой точке зрения заключается коренная разница между его методом бесконечно малых и "методом неделимых" Кавальери, а именно в том, что он не считает, что линия состоит из точек, поверхность из линий или объём из поверхностей: точки, линии и поверхности являются у него только границами или краями, а не составными частями. В самом деле, очевидно, что точка, помноженная на любую величину, не может дать длины, поскольку, строго говоря, точка имеет нулевую протяжённость по отношению к длине; истинные элементы величины всегда должны быть той же природы, что и сама величина, хотя и несравнимо меньшими: это соображение не оставляет места для "неделимых", и, более того, позволяет усмотреть в исчислении бесконечно малых некий принцип однородности, подразумевающий, что обычные величины и бесконечно малые величины различных порядков, хотя и несравнимые между собой, всё же являются величинами одного рода*.

7 По этому вопросу см.: Царство количества и знамения времени.

8 Символизм креста, гл. 16.

* Об "однородности" континуума см. напр.: В.Н. Катасонов, указ. соч.; Прерывное и непрерывное, с. 21. (прим. перев.)

С этой точки зрения можно также сказать, что часть, что бы она собой ни представляла, всегда сохраняет некоторую "однородность" или природное соответствие с целым, по крайней мере постольку, поскольку считается возможным воссоздание целого из частей посредством процедуры, сравнимой с процедурой составления арифметической суммы. Вместе с тем, это не означает отсутствия в реальности простых вещей, поскольку сложные вещи могут быть образованы начиная с их элементов абсолютно другим способом, нежели рассмотренный; но тогда, в сущности, эти элементы не будут являться собственно "частями", и, как указывал Лейбниц, они никоим образом не могут быть телесного порядка. Что действительно несомненно, так это то, что невозможно достичь простейших, то есть неделимых элементов без выхода за пределы такого особого состояния, как протяжённость; протяжённость не может быть разложена на такие элементы без того, чтобы перестать быть протяжённостью. Из этого непосредственно следует, что не существует неделимых телесных элементов, поскольку такое понятие подразумевало бы противоречие; ибо, в самом деле, такие элементы должны были бы не обладать протяжённостью, и тогда они не были бы телесными, поскольку понятие "телесный" по определению с необходимостью подразумевает протяжённость, хотя протяжённость и не составляет всей природы тел; таким образом, несмотря на все наши замечания в других отношениях, следует признать, что Лейбниц занимает совершенно правильную позицию в своём неприятии атомизма*.

* Генон, по непонятным причинам, довольно грубо и упрощённо излагает атомизм. В классическом метафизическом атомизме вообще нет речи о "составленности" (или "разлагаемости") протяжённости (длительности) на атомы, поскольку пространство (как и время, и движение) в атомизме считается акциденцией атомов. При этом сами по себе атомы не "образуют" протяжённости, длительности, т.е. вообще любой континуальности – которая образуется их сочетанием, "соединённостью", производимой волей Бога, которая является единственным основанием всякой длительности, т.е. континуальности (см.: А.В. Смирнов. Атомизм в арабо-мусульманской философии. // Новая философская энциклопедия. т. 1. Москва, 2010). Это весьма отличается от картины того "математического атомизма" (т.е. геометрической концепции "точечности"), который был распространён в геометрических построениях европейцев. У классических атомистов "неделимые" вообще являются метафизическими (а не физическими, вещественными) сущностями, метафизическими "точками", существующими за пределами как вещественности, так и континуальной ("математической") геометрии (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 97-98, 104). Это неприятие атомизма Геноном тем более удивительно, что пифагорейцы и платоники, которых Генон рекомендует как единственных в Европе носителей "сакральной математики", были последовательными атомистами, впрочем, "математического" толка (см.: Прерывное и непрерывное, с. 14, 22-25). (прим. перев.)

Но до сих пор мы говорили только о делимости, то есть о возможности деления; следует ли пойти дальше и, вместе с Лейбницем, признать возможность "актуального деления"? Эта идея также не лишена противоречия, ибо она сводится к предположению наличия полностью реализованного неопределённого, и ввиду этого противоречит самой природе неопределённости, которая, как мы уже указали, всегда представляет собой возможность в процессе развёртывания, следовательно, в принципе подразумевает нечто незавершённое, ещё вполне не реализованное. Вместе с тем, по сути, нет оснований делать такое предположение, ибо когда дано непрерывное множество, дано целое, а не части, на которые оно может быть разделено, и только наблюдатель делает заключение о возможности разделить это целое на части, которые могут быть сведены ко всё меньшим и меньшим, становясь меньше некоторой заданной величины, при условии, что деление продолжается достаточно долго; следовательно, по сути, именно наблюдатель полагает части, в той мере, в какой он осуществляет деление. Поэтому от необходимости рассмотрения "актуального деления" нас освобождает именно то различие, которое было прояснено нами ранее по поводу разных способов рассмотрения целого: непрерывное множество не является результатом частей, на которые оно может быть разделено, но напротив является независимым от них, и, следовательно, тот факт, что оно дано нам как целое, никоим образом не влечёт за собой актуальное существование этих частей*.

* О проблеме "всецелой разделённости" континуума см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 131 и след. (прим. перев.)

Подобным образом, если перейти на другую точку зрения и рассматривать дискретное, можно сказать, что если дана неопределённая числовая последовательность, это никоим образом не подразумевает отчётливую данность всех содержащихся в ней членов, что невозможно именно ввиду того, что она является неопределённой; в реальности, задать такую последовательность означает задать формулу, позволяющую вычислить член, занимающий определённое положение, или, собственно говоря, любое положение в данной последовательности⁹. Если бы Лейбниц дал такой ответ Бернулли, их дебаты по поводу существования terminus infinitesimus (бесконечного предела) могли бы сразу прекратиться; но он был неспособен дать такой ответ без логичного перехода к отказу от своей идеи "актуального деления", разве только он стал бы вовсе отрицать всякую связь между континуальными и дискретными модусами количества.

9 Ср. Л. Кутюра, De l'infini mathématique, с. 467: "Последовательность натуральных чисел задаётся единственно формулой её образования, как и вообще все другие бесконечные последовательности и ряды: как правило, для полного их определения достаточно некоторого вида рекуррентной формулы, так что их предел или сумма (если она существует) ввиду этого является вполне находимой <…>. Именно благодаря этой формуле образования последовательности натуральных чисел у нас существует представление о каждом целом числе, и в этом смысле они все заданы этой формулой". – Действительно, можно сказать, что общая формула, содержащая выражение n-го члена некоторой последовательности, потенциально и в неявном виде, хотя и не актуально и явно, содержит все члены этой последовательности, поскольку любой из них может быть получен из этой формулы приданием n того значения, которое соответствует положению, занимаемому этим членом в последовательности; однако, вопреки мысли Кутюра, это, очевидно, не то, что подразумевал Лейбниц, "когда он отстаивал идею актуальной бесконечности последовательности натуральных чисел".

Как бы то ни было, во всех случаях рассмотрения континуального именно в "отсутствии различия" его частей мы можем увидеть корень идеи бесконечного в понимании Лейбница, поскольку, как мы сказали ранее, эта идея всегда влечёт за собой некоторую долю путаницы; но это "отсутствие различия", далёкое от того, чтобы быть предпосылкой возможности реализованного разделения, наоборот, скорее выступает в качестве предпосылки его исключения, наряду с приведёнными нами только что вполне очевидными соображениями. Поэтому, даже если теория Лейбница верна в том отношении, что она противостоит атомизму, для полного соответствия истине она требует корректировки в другом отношении: понятие "бесконечного деления материи" должно быть заменено понятием "неопределённого деления протяжённости"; именно к этой краткой и наиболее точной формулировке сводятся в конечном итоге все изложенные нами здесь соображения.