Методом бесконечно малых

В работе, в которой Лейбниц впервые представил свой метод бесконечно малых¹, а также в нескольких своих следующих работах², он особенно подчёркивал перспективы использования и применения нового исчисления, в соответствии с тенденцией модерна придавать больше важности практическим применениям науки, чем собствено науке самой по себе; затруднительно сказать, существовала ли действительно эта тенденция у самого Лейбница или такой способ представления его метода был только чем-то вроде уступки с его стороны. Как бы ни обстояло дело, для обоснования какого-либо метода, очевидно, недостаточно показать преимущества, которыми он обладает перед другими, ранее существовавшими методами, или удобства, предоставляемые им для практических вычислений, или даже результаты, уже полученные этим методом; противники теории исчисления бесконечно малых неустанно использовали этот довод, и именно исключительно их возражения заставили Лейбница приступить к разъяснению принципов и даже истоков его метода. Вместе с тем, вполне вероятно, что по этому последнему пункту он вообще никогда не высказывался, но, в конце концов, это не столь важно, так как зачастую случайные причины какого-либо открытия представляют собой всего лишь достаточно незначительные сами по себе обстоятельства; так или иначе, из того, что он писал по данному предмету³, всё, что нас интересует, это то, что он перешёл от рассмотрения "определимых" разниц между числами к рассмотрению "неопределимых" разниц, которые могут постигаться в геометрических величинах вследствие их континуальности, и что он также придавал большое значение этому переходу, так сказать, "естественному по природе вещей". Из этого следует, что для него бесконечно малые величины не явлены нам непосредственно естественным образом, но даны только как результат перехода от рассмотрения варьирования дискретной величины к рассмотрению варьирования континуальной величины и как результат применения первой для измерения второй.

1 Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus (Новый метод для наибольших и наименьших величин, а также касательных без использования дробных или иррациональных величин и уникальный способ исчисления для них), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1684.

2 De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum (О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечных величин), 1686. Все последующие работы посвящены решениям частных задач.

3 Сначала в его переписке, затем в Historia et origo Calculi differntialis (История и происхождение дифференциального исчисления), 1714.

Каков в точности смысл этих бесконечно малых величин, оперированием с которыми Лейбниц, не дав их предварительного определения, навлёк на себя известную критику, и позволял ли ему этот смысл рассматривать своё исчисление в качестве абсолютно строгого или, наоборот, всего лишь метода приближений? Ответить на эти два вопроса означало бы, тем самым, разрешить наиболее важные возражения, которые выдвигались против Лейбница; но, к сожалению, он сам так и не ответил на них предельно чётко, и даже его различные попытки дать такой ответ не всегда находятся в согласии между собой. В этом отношении следует заметить, что Лейбниц вообще был склонен к объяснению одних и тех же идей по-разному в зависимости от аудитории, перед которой он выступал; мы, конечно, не будем упрекать его за такое поведение, могущее быть источником раздражения только для буквалистов, поскольку, в принципе, он только следовал инициатическому, конкретно, розенкрейцеровскому предписанию, согласно с которым следует говорить с каждым на его языке; правда, иногда он применял этот принцип достаточно неудачно. В самом деле, если очевидно возможно облачить одну и ту же истину в различные формы выражения, само собой разумеется, что это должно делаться без какого-либо искажения или сокращения её, с тщательным воздержанием от какого-либо способа выражения, могущего повлечь за собой ошибочные представления; в этом отношении Лейбниц во многих случаях повёл себя неудачно⁴. Так, он продвигал мысль о "приспособлении идей" до такой степени, что иногда, казалось, давал справедливый повод упрёкам тех, кто желал видеть в его исчислении только метод приближений, ибо он иногда представлял своё исчисление как всего-навсего сокращённую версию древнего "метода исчерпывания", который был полезен для облегчения вычислений, но давал результаты, которые, при требованиях достаточной строгости, нужно было проверять другим методом; и тем не менее достаточно ясно, что не это лежало в основе идеи Лейбница, но что в реальности он видел в своём методе нечто гораздо большее, нежели просто подручное средство ускорения вычислений.

4 На языке розенкрейцеров можно сказать, что эти примеры, в той же мере (и даже большей), как и его проекты characteristica universalis, доказывают, что, даже если у него и была какая-то теоретическая идея природы "дара языков", он тем не менее воспринял её далеко не действенным способом.

Лейбниц часто заявлял, что бесконечно малые величины с необходимостью являются "несравнимыми", но в отношении точного значения, в котором должно пониматься это слово, он давал пояснение не только неудовлетворительное, но и крайне неудачное, ибо оно могло только вооружить против него его противников, которые, при этом, не преминули воспользоваться этим обстоятельством; здесь снова очевидно, что он не выражал свои действительные мысли, и на этом втором примере излишнего "приспособления" идей, ещё более тяжеловесного, чем первый случай, мы увидим, как за "адаптированными" выражениями истины на самом деле скрываются ошибочные взгляды. Лейбниц писал:

"Не следует понимать здесь бесконечное в строгом смысле, но только в том смысле, в котором в оптике говорят, что солнечные лучи исходят из бесконечно удалённой точки и поэтому могут рассматриваться как параллельные. И когда мы говорим о нескольких степенях бесконечного или бесконечно малого, то это то же самое, что рассматривать земной шар как точку по отношению к расстоянию до звёзд, а мяч, который мы держим в руке, можно так же рассматривать как точку по отношению к радиусу земного шара, таким образом, что расстояние до звёзд представляет собой как бы бесконечную бесконечность по отношению к диаметру мяча. Ибо вместо бесконечного или бесконечно малого можно взять величины столь большие или столь малые, какие могут потребоваться для того, чтобы полученная погрешность была меньшей, чем заданная погрешность, и она будет отличаться от определения Архимеда только выражением, которое в нашем методе более непосредственно и более согласно с искусством изобретательства"⁵.

5 "Mémoire de M.G.G. Leibnitz touchant son sentiment sur le Calcul differentiel", в: Journal de Trévoux, 1701.

Лейбницу неизменно указывали, что каким бы малым ни был земной шар по отношению к звёздному миру или песчинка по отношению к земному шару, они всё же являются постоянными и определёнными величинами, и если одна из этих величин будет рассматриваться как практически ничтожная по сравнению с другой, это всё-таки будет только простым приближением; он отвечал, что только желал "избежать экивоков" и "сделать аргументацию наглядной для всех"⁶, что полностью подтверждает наш взгляд на его аргументацию*, и что, более того, также является проявлением той тенденции "популяризации", которая распространена среди учёных модерна. Что поразительнее всего, это то, что после этого он пишет: "Во всяком случае, я не давал ни малейшего повода кому-либо думать, что я в самом деле подразумевал крайне малые, но всегда постоянные и определённые величины", и добавляет к этому: "Кроме того, я уже писал несколько лет назад Бернулли, что бесконечные и бесконечно малые могут рассматриваться как фикции, наподобие мнимых корней⁷, без всякого вреда для нашего исчисления, поскольку эти фикции удобоприменяемы и укоренены в реальности"⁸. Вместе с тем, он, похоже, так в точности и не понял, в каком отношении его сравнение страдало некорректностью, поскольку он привёл его снова в тех же выражениях около десяти лет спустя⁹; однако, во всяком случае, поскольку он явно заявил, что не намеревался рассматривать бесконечно малые величины как определённые, из этого нужно заключить, что в его понимании значение приведённого сравнения сводится к следующему: песчинка, хотя и не бесконечно малая, может тем не менее без ощутимого ущерба, считаться таковой по отношению к земному шару, и поэтому нет необходимости рассматривать бесконечно малые "строго" – они даже могут, если угодно, считаться чистейшими фикциями; однако, при любом способе рассмотрения, такое соображение тем не менее явно не может дать иного представления об исчислении бесконечно малых кроме как об идее простого приближённого вычисления, что, несомненно, было бы недостаточным с точки зрения самого Лейбница.

6 Письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

* Скорее Лейбниц имел здесь в виду проблематику перспективы, т.е. близости-дальности рассматриваемого объекта, его видимости и, соответственно, характера восприятия наблюдателем. О связи проблематики перспективы с проблематикой дискретного-континуального см. напр.: В.Г. Лысенко. "Философия природы" в Индии: атомизм школы вайшешика. Москва: Наука, 1986. с. 116-120; В.П. Зубов, указ. соч., с. 94. (прим. перев.)

7 Мнимыми корнями называются корни из отрицательных чисел; на вопросе отрицательных чисел и логических проблем, возникающих в связи с ними, мы остановимся позже.

8 Письмо Вариньону от 14 апреля 1702 года.

9 Mémoire, указ. выше, в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1712.