К. Эрроу и Ж. Дебре

В развитии теории общего равновесия в XX в. можно, хотя и с определенными оговорками, выделить два направления. Первое, ко торое условно можно назвать микроэкономическим, связано с и mi

Бинарность означает, что избыточный спрос на один товар уменыи.н ся точно на ту же сумму, на какую увеличился избыточный спрос на др>1 < ■ В случае если все товары — субституты и происходит бинарный сдвиг cnpuiiil оттовара J KTOBapv2, цены всех товаров относительно цены 1 возрастут iifitfl останутся неизменными, но никакое увеличение цены не будет большим,! чем увеличение цечы товара 2.

кмм А. Вальда, Дж. фон Неймана, Дж. Хикса, М. Алле, К. Эрроу и (, Добре¹⁰. Исследования в рамках данного направления сконцент-яроиались вокруг различных аспектов проблемы существования рав­новесия; наиболее заметные достижения были сделаны в период с jtrrw 20-х до начала 60-х годов.

Второе направление — условно макроэкономическое — возникло jttvc влиянием общего интереса к макроэкономическим проблемам и ■режде всего к проблемам безработицы и денег, анализ которых нераз-iliti [о связан с важнейшей для представителей этого направления ме-йдологической проблемой - соотношение между макро- и микропод-11ми. Называя тех, кто внес вклад в развитие этого направления, г;ловно, следовало бы начать с Дж.М. Кейнса, который, хотя и яв- •л в определенном смысле ниспровергателем равновесного подхо-федопределил проблематику будущих исследований, в том числе >бласти теории равновесия. Среди ученых, которых можно отнес-данному направлению, следует назвать О. Ланге, Д, Патинкина, шуэра, Р. Бэрроу, Г. Гроссмана. Междууказанными направлениями ■ icraeT некоторая область общих интересов, связанная с проблема­ми неопределенности, ожиданий, ограниченности информации и т.д. Строгий анализ общего равновесия начал А. Вальд. В серии ста-||< и наиболее известная из которых была опубликована в 1936 г.¹¹, он j/i.i i строгое определение равновесия и математически доказал суще-ш питание конкурентного равновесия для некоторых моделей, Ины-1м и словами, он показал, что при некоторых условиях в системе типа ||< 1'м.раса существует такой вектор неотрицательных цен, что равен-.■I I., i спроса и предложения, которое устанавливается в результате дей-■ии производителей и потребителей, максимизирующих свои це-гпые функции, исходя из этих цен, определит именно эти цены.

Вальд также попытался исследовать проблему единственности ре-llk-ния и выдвинул в качестве альтернативных условий существования ш;|С>ую аксиому о выявленных предпочтениях¹² для рыночных функ>

¹ К списку этих знаменитых экономистов, среди которых пять лауреа-4)11 Нобелевской премии, можно добавить Г. фон Штакельберга, Г. Нейзера Плодотворно работавших в этой области в 30-е годы.

" Wald A. Uber einige Gfeichungssysteme der mathematischen Okonomie// li-iischriftfurNationatokonotnie 1936, 7(5).

¹¹ Идея выявленных предпочтений принадлежит Самуэльсону и связана с Попыткой обойтись без явного задания функции полезности и построить тео­рию спроса на основе простого наблюдения поведения потребителя. Базис­ный постулат — слабая аксиома выявленных предпочтений. Суть ее состоит в dm, что если потребитель, располагающий некоторым доходом, при некото-И)\1 векторе цен предпочел набор товаров А набору В, то и при другом векторе Ьг11 он выберет набор А, если только будет в состоянии его приобрести.

Исюряя экономкческих учений

ций спроса (суммы индивидуальных функций спроса для каждого то вара) и условие валовой субституции всех товаров (т.е. dEjdp > 0 для всех i^j). Оба эти условия стали центральной темой всех последую­щих работ в данной области. Доказательство достаточности последнс го условия было предложено в 1943 г. М. Алле.

Другим заметным достижением этого периода было доказательст­во существования равновесной траектории для пропорционально рас ширяющейся экономики, предложенное в 1937 г. Дж. фон Нейманом". Эта работа замечательна не только тем, что понятие равновесия в неи было использовано применительно к изменяющейся экономике, но и тем, что впервые при доказательстве существования равновесия был использован инструментарий теории игр. Тем самым был обозначен альянс теории общего равновесия и теории игр, основанный на том факте (который, однако, был строго доказан значительно позже), что модель типа Вальраса можно трактовать как игру, а следовательно, по иск равновесия есть не что иное, как нахождение решения игры.

В экономике существуют два товара, которые создаются в ходе двух производственных процессов и полностью в них потребляются (отсутствует конечное потребление). Каждый производственный про цесс характеризуется определенным уровнем интенсивности, коэф­фициенты затрат и выпуска соответствуют единичному уровню его интенсивности.

Условия сбалансированности задаются следующим образом.

Для каждого товара агрегированный выпуск должен быть не мень­ше, чем затраты, необходимые, чтобы процесс продолжался в следу­ющем периоде в расширенном масштабе:

(I)

b^ + b^Xl+giia^ + a^),

b_3]X_l + b₂₂X₂>(l+_g)(a,₁X_l+ a₁₂X₂),

где а — затраты /-го товара в процессе/ на единицу выпуска, Ь_: - вы пуск товара;' в процессе,/ на единицу затрат, X — интенсивность про цесса/, g — темпы роста, г— процент.

Для каждого производственного процесса издержки сучетом про цента должны быть не меньше, чем получаемый доход, так как в про тивном случае соответствующий процесс расширяется, вызывая и t менение структуры цен

(II)

(1 + r)(a_lip_l + а_2[р₂) > b_np_t + b_2]p₂, (] + г)(а_пр₁ + а_пр₂) > b_l2p_] + Ь_пр_т

^п Упрощенный вариант модели фон Неймана представлен в khJ Niehans J. A History of Economic Theory. Classic Contributions. 1720— 1? Baltimore, L., 1990. P. 401-403.

S6

Вопрос в том, существуют ли интенсивность производственных процессов, уровень цен, процента и темп роста, удовлетворяющие л пум группам условий, и каково их экономическое содержание?

Нейман доказал, что при некоторых условиях решение существу-п, причем максимально возможный темп роста равен минимально допустимому проценту, т.е. maxg= min r.

Это означает, что если выбран некий g, и для некоторых товаров условия (I) нарушаются, то требуется уменьшать g до тех пор, пока дня всех товаров эти условия не будут выполняться, причем для како­ю-то (одного или нескольких товаров) как равенство. Этот товар (или несколько товаров) и будет экономическим, т.е. иметь положитель­ную цену. Темп роста производства будет в этом случае максималь­ным из возможных.

Если г зафиксирован на очень низком уровне, многие процессы оказываются прибыльными - условия (II) нарушаются. Повышая г, можно добиться ситуации, когда для всех процессов условия будут иыполняться, причем по крайней мере для одного процесса - как ра-iiL-иство. Определенный в этом равенстве г и будет минимальным из допустимых.

Нейман показал, что модель расширяющейся экономики может 4>лктоваться как игра двух участников с нулевой суммой, один из гметников которой максимизирует выигрыш — темп роста эконо­мики при ограничениях на предложение, а другой — минимизирует проигрыш — процент при ограничениях на прибыль. Он доказал, что при некоторых условиях существует седловая точка (решение) такой и i ры, характеризующаяся равенством значений обеих целевых функ­ции - темпа роста и процента. Это и есть точка равновесия, задаю­щая траекторию сбалансированного роста.

Полученный фон Нейманом результат позволяет осознать важ-1М.1Й аспект равновесия, который не был выявлен в модели Вальраса,.1 именно: равновесие — это максимум выпуска в денежном выраже­нии и минимум доходов факторов. Этот вывод представляет собой ныраженное другим языком утверждение Смита о равенстве стоимо-i i и произведенной продукции и суммы доходов в экономике.

Теория игр открыла новые способы доказательства существова­ния равновесия в моделях типа Вальраса и анализа ситуаций, кото-рис традиционный равновесный подход исключал из рассмотрения. М.нав с простого случая так называемых антагонистических игр с шумя участниками, когда проигрыш одного является выигрышем Ч'угого, теория игр постепенно перешла к анализу более сложных i пгуаций -неантагонистических игр с л участниками. Применитель­но к миру экономики это, в частности, означает отказ от идеи, со-

гласно которой цены на рынке не зависят от поведения отдельног участника. Иными словами, игровой лодход позволяет перейти от¹ мира атомизированных и не влияющих на рынок индивидов к более реалистичной ситуации, когда от каждого участника зависит рыноч ная ситуация, например, как в случае олигополии.

Важную роль в совершенствовании методов доказательства суще ствования равновесия сыграла теорема Какутани о неподвижной точ к* (1941), которая, в частности, позволила предложить элегантную иллю страцию процесса «tatonnement» на языке современной математики"

В середине 50-х годов, основываясь на этой теореме, а также hl пользуя достижения в области линейного программирования, ряд ученых и прежде всего нобелевские лауреаты К. Эрроу (1972) и Ж. Де- бре (1983) предложили более простые и общие, чем у Вальда, теорс мы существования единственного и экономически значимого решс ния модели Вальраса. Модель Эрроу—Дебре (1954) является класс» ческой в области современной теории общего равновесия¹¹. Она пред­ставляет собой модифицированный вариант модели Вальраса, в к» торую включено множество производственных возможностей вмес­то фиксированных производственных коэффициентов, а вместо функций полезности, обладающих хорошими свойствами, введены функции предпочтения.

В модели Эрроу-Дебре фирмы трансформируют затраты в вы­пуск, причем кривые трансформации выпуклы, отсутствует эконо­мия на масштабах; домашние хозяйства предлагают труд и потребля­ют положительное количество товаров; их выбор определен функци­ей полезности, у которых кривые безразличия выпуклы; у домашних хозяйств есть положительное количество каждого товара и они пре-1 тендуют на некоторую долю прибыли.

При этих предпосылках они доказали, что существует конкурент-1 ное равновесие, которое они определили следующим образом:

максимум прибыли при заданных ценах;

максимум полезности при заданных ценах и долях в прибылях;

цены неотрицательны;

если существует избыточное предложение товара, его цена равн^ нулю.

¹⁴ Суть этой теоремы состоит в следующем: если к компактному и вь пуклому множеству применяется полунепрерывное сверху точечное отобрав жемие этого множества в себя, то по крайней мере одна точка этого множе­ства останется неподвижной, т.е. совпадет со своим отображением. Очевид» но, что именно эта неподвижная точка и будет точкой равновесия.

^is Arrow К., Debreu G Existence of an Equibibrium for a Competitive^ Economy//Econometrica. 1954 Vol. 22. № 2.

. При доказательстве георемы Эрроу и Дебре использовали теоре- Нэша о решении игры с п участниками и показали эквивалент-Всть понятий конкурентного равновесия и равновесия игры с п уча-Шиками.

Существовали и несколько иные подходы к доказательству рав-'шссия в модели Вальраса. Так, Л. Маккензн использовал при дока-1111^чльстве теоремы Эрроу-Дебре теорему о неподвижной точке и, что >бенно важно, предложил достаточно простую интерпретацию про­са поиска равновесия, использовав идею единичного симплекса v пространства допустимых векторов цен¹⁶. Процесс поиска рав- "■•чссиых цен он трактовал как отображение множества цен в себя, причем процесс отображения проходит промежуточную стадию ото-Чмжения цен в количества. Таким образом, процедура отображения ' i иювится интерпретацией процесса «tatonnement», неподвижная и 'чка - точкой равновесия, а ее координаты — ценами равновесия.

История проблемы существования равновесия достигла своей i v гьминации, когда в 1959 г. Ж. Дебре опубликовал итоговую работу li'opuH стоимости»", где с учетом всего сделанного ранее не только i ч,1 на изложена аксиоматика системы общего равновесия и было пред-и>ж.ено доказательство существования равновесия, но и были пред-1 i шлены доказанные в 1951 г. Дебре и Эрроу теоремы благосостоя­ния, устанавливающие (однозначное) соответствие между конкурент­ным равновесием и оптимумом по Парето. Последние выводят про-ииому равновесия в новое измерение, затрагивающее этические ос-щ'ны теории равновесия (см. гл. 14).

Наряду и порой параллельно с исследованием проблемы сущест-in шания и сопряженного с ней широкого круга проблем развивался и.шилиз проблемы устойчивости. Существование равновесия ничего in- говорит о поведении системы, т.е. о ее динамических свойствах. Мштому проблема устойчивости неотделима от проблемы динами-!■ п. В самом общем виде устойчивость ассоциируется с «притяжени-i м» системы к некоторому состоянию или траектории. Самое общее мд тематическое определение устойчивости гласит: «Линия поведения i пстемы называется устойчивой, если, начавшись внутри этой обла-

■ i и, она никогда ее не покидает». Очевидно, что конкретизация это-
i >' определения может быть различной.

"' Использовать единичный симплекс возможно, поскольку у Вальраса 'фикции спроса однородны нулевой степени от цен, т.е множитель при це-" is может быть вынесен. Если каждую цену разделить на сумму всех цен, то

■ и,пученные векторы цен будут находиться внутри единичного симплекса.

¹⁷ DebreuG. Theory of VaJue: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium...■w Haven, 1959.

Дж. Хикс, П. Самуэльсон, К. Эрроу, Ф. Хан, Т. Негиши, Л. Мак-кензи, X. Узава - вот неполный перечень тех, кто в разное время ис­следовал проблему устойчивости равновесия. Но начало положили ] ЗО-е годы Дж. Хикс и П. Самуэльсон¹⁸.

Хикс предложил критерий устойчивости, представлявший, пс существу, попытку формально выразить соображения, которые уже высказывались в связи с процессом «tatonnement», а именно что уве­личение цены данного товара должно вызывать уменьшение избы­точного спроса на него, причем этот прямой эффект сильнее возмож­ного вторичного эффекта, связанного с косвенным влиянием цендру-гих товаров, изменение которых было порождено изменением спро­са на них в результате изменения цены исходного товара. Хикс со­средоточил внимание на матрице, составленной из частных произ­водных функций избыточного спроса, и пришел к выводу, что глав­ные миноры этой матрицы должны иметь меняющиеся знаки, при­чем первый минор должен быть отрицательным.

Позже Самуэльсон показал, что критерий Хикса в общем случае не является ни необходимым, ни достаточным. Он подверг критике хиксианское представление об устойчивости на том основании, что оно определено по аналогии со случаем одного рынка, и предложил собственный подход к анализу устойчивости. Самуэльсон исходил \м представления об устойчивости как о «притяжении» к некоторой точ­ке, т.е. понимал ее как свойство системы возвращаться к равновес­ной траектории после изменения исходных условий. Он обратился к динамическим характеристикам процесса «tatonnement», а именно к зависимости, связывающей скорость изменения цены товара и вели­чины избыточного спроса на него. Для наиболее простого случая — когда эта зависимость линейна, т.е. может быть представлена как dp/dt= с (А ■+ Вр), где А и В — матрицы коэффициентов, р - вектор цен, он показал, что необходимым и достаточным условием устойчи­вости системы является то, что действительные части характеристи­ческих чисел матрицы В отрицательны¹⁹. Для случая одного рынка это условие эквивалентно условию Хикса.

В конце 50-х годов, используя иные методы анализа, Эрроу и дру­гие экономисты-математики сформулировали следующие альтерна-j

См.^- Хикс Дж. Стоимость и капитал. М., 1988. Гл. 5 и Приложение i ней; SamuelsonP. The Stability of Equilibrium: Linear and Non-Linear Systems, Econometrica. 1942. Vol. 10. January. The Relation Between Hicksian Stability and True Dynamic Stability// Econometrica. 1944. Vol. 12. July—October.

¹⁹ Характеристические корни матрицы [aj - корни уравнения степени п от л, полученного для определителя матрицы \А — хГ\, где /— единичная ма­трица.

тивные достаточные условия устойчивости: все товары - субституты; рынки удовлетворяют слабой аксиоме о выявленных предпочтениях; якобиан (т.е. определитель матрицы, составленной из частных про­изводных функций избыточного спроса) имеет доминантную диаго-паль, все элементы которой отрицательны. Последнее условие, оче­видно, не что иное, как утверждение о том, что увеличение цены дан­ного товара ведет к уменьшению спроса на него, независимо от воз­действия других цен.

Дискуссии, о которых шла речь выше, строго говоря, касались математической стороны теории общего равновесия, экономическая интерпретация полученных результатов часто оказывалась достаточ­но затруднительной. В этом смысле более экономически содержатель­ными были исследования в рамках того направления, которое выше было обозначено как макроэкономическое.