Аффинная и проективная

Аффинная и проективная трансформация реализуется с помощью полиномиальной аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Суть данных методов заключается в нахождении такого преобразования данных в новые координаты, при котором достигается наименьшая погрешность (невязка) между координатами заданных точек трансформации и значениями этих точек в новых координатах. В процессе ввода точек трансформации вы можете определить ожидаемую точность преобразования данных по значениям невязки - чем меньше значение невязки, тем точнее будет выполнено преобразование. Значение невязки отображается в окне Свойства (закладка Трансформирование слоя, столбец E1).

В данных методах задача преобразования старых координат точки (X,Y) в новые координаты (X',Y') сводится к нахождению таких коефициентов a1,...,an, b1,...,bn аппроксимирующего полинома, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений заданных значений от построенной аппроксимирующей кривой:

для аффинной трансформации:

X'= a1X + a2Y + a3

Y'= b1X + b2Y + b3

Для проективной трансформации полиномами 2-й степени:

X'= a1X2 + a2XY + a3Y2 + a4X + a5Y + a6
Y'= b1X2 + b2XY + b3Y2 + b4X + b5Y + b6

требуется задание не менее 6-и точек трансформации

Для проективной трансформации полиномами 3-й степени:

X'= a1X3 + a2X2Y + a3XY2 + a4Y3 + a5X2 + a6XY + a7Y2 + a8X + a9Y + a10
Y'= b1X3 + b2X2Y + b3XY2 + b4Y3 + b5X2 + b6XY + b7Y2 + b8X + b9Y + b10

требуется задание не менее 10-и точек трансформации

Резиновый лист (локально - аффинное)

Данный метод трансформации используется для устранения локальных искажений данных с помощью локально - аффинных преобразований. Суть данного метода заключается в нахождении такого преобразования данных в новые координаты, при котором координаты точек трансформации точно преобразуются в указанные новые координаты, а координаты остальных данных интерполируются с учетом изменения опорных точек трансформации. Зоной трансформации данных является область состоящая из наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего опорные точки трансформации (рисунок ниже).

Для данного метода требуется задание не менее 4-х точек трансформации.