Теорема Гаусса - теорема, определяющая поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность. Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре, равен . Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность. Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд, то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее. Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/e0. Знак потока совпадает со знаком заряда Q. Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Ei полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому .
Каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Qi /e0. Следовательно, . Формула эта выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e0. В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью r=dQ/dV, различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,
.
Можно записать следующее: .