Работа по перемещению заряда в электростатическом поле. Теорема о циркуляции вектора Е

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x ₂ —x ₁ = d x, равна E_x d x. Та же работа равна j ₁ —j ₂ =dj. Приравняв оба выражения, можем записать , где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор Е: , где i, j, k — единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента: , т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями — поверхностями, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение. Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал . Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае — кон­центрические сферы (сферы разного радиуса, но с одним центром.). С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда — радиальные прямые (которые проходят через полюс). Следовательно, линии напряженности в случае точеч­ного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд Q ₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемеще­нии d l равна . Т.к. d/cosa=d r, то . Работа при перемещении заряда Q ₀ из точки 1 в точку 2. не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.

Работа, совершаемая при перемещении электричес­кого заряда во внешнем электростатическом поле полюбому замкнутому пути L, равна нулю, т.е. . Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути d l равна Е d l = E_l dl, где E_l = E cos a — проекция вектора Е на направление элементарного переме­щения. Тогда . Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Следователь­но, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого за­мкнутого контура равна нулю. Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Формула справедлива только для электростатического поля. Т.к. для поля движущихся зарядов это условие не выполняется (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).